Generatori

Ora che avere in mente il significato di span di un insieme di vettori, possiamo parlare del concetto fondamentale di generatori. Il nome è tutto un programma "generatori", generano qualcosa. Cosa? Ovviamente uno spazio vettoriale o un sottospazio vettoriale.

$$ \diamond $$

Consideriamo un gruppo di vettori \( \{ v_1, v_2, \ldots, v_n\} \) di uno spazio vettoriale \( \mathrm V\). Questi vettori sono presi a caso, senza una regola, supponiamo per adesso che siano un insieme finito, nel senso che \( n < \infty \), quando sarà opportuno faremo discorsi più generali. Si dice che \( \{ v_1, v_2, \ldots, v_n\} \) sono un sistema di generatori di \(\mathrm V\) (abbreviato s.d.g.) se vale la seguente cosa: $$ \large \langle \mathbb S \rangle = \mathrm V $$

Tradotto: lo spazio generato coincide con lo spazio vettoriale \( \mathrm V\); in altre parole ogni vettore di \( \mathrm V \) si può scrivere come cominazione lineare (c.l.) dei vettori \( \{ v_1, v_2, \ldots, v_n\} \). $$ \large \mathrm V \ni v = \sum_{i=1}^n \lambda_iv_i $$ $$ v = \lambda_1v_1 + \lambda_2v_2 + \ldots + \lambda_nv_n $$




Consideriamo \( 3\) vettori di \( \mathbb R^2\), ossia: \(\mathrm V = \mathbb R^2 \)
$$ v_1 = (1, -1) \hspace{5mm} v_2 = (2, 1) \hspace{5mm} v_3 = (0, 2) $$ $$ v_1 = (1, -1) \hspace{5mm} v_2 = (2, 1) \hspace{5mm} v_3 = (0, 2) $$ $$ v_1 = (1, -1) \hspace{5mm} v_2 = (2, 1) $$ $$ v_3 = (0, 2) $$

Ci chiediamo se questi vettori sono generatori dello spazio \( \mathbb R^2 \). Per capirlo bisogna dimostrare che preso un qualunque vettore di \( (a, b) \in \mathbb R^2 \), questo si può esprimere come combinazione lineare dei vettori dati. Dobbiamo vedere se l'equazione vettoriale (presi opportuni coefficienti \(\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3 \) di un campo \( \mathbb K \) ), ammette almeno una soluzione! $$ v = \lambda_1v_1 + \lambda_2 v_2 + \lambda_3 v_3 $$ $$ \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} = \lambda_1\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} + \lambda_2\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} + \lambda_3\begin{pmatrix} 0 \\ 2 \end{pmatrix} $$ $$ \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} = \lambda_1\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} + \lambda_2\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} + \lambda_3\begin{pmatrix} 0 \\ 2 \end{pmatrix} $$ $$ \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} = \lambda_1\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} + \lambda_2\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} + $$ $$ + \lambda_3\begin{pmatrix} 0 \\ 2 \end{pmatrix} $$ dobbiamo sostanzialmente risolvere il seguente sistema lineare associato all'equazione vettoriale

$$ \begin{cases} a = \lambda_1 v_{1_1} + \lambda_2 v_{2_1} + \lambda_3 v_{3_1} \\ b = \lambda_1 v_{1_2} + \lambda_2 v_{2_2} + \lambda_3 v_{3_2} \end{cases} \longrightarrow \begin{cases} a = \lambda_1 + 2\lambda_2 \\ b = -\lambda_1 + \lambda_2 + 2\lambda_3 \end{cases} $$ $$ \begin{cases} a = \lambda_1 v_{1_1} + \lambda_2 v_{2_1} + \lambda_3 v_{3_1} \\ b = \lambda_1 v_{1_2} + \lambda_2 v_{2_2} + \lambda_3 v_{3_2} \end{cases} \longrightarrow \begin{cases} a = \lambda_1 + 2\lambda_2 \\ b = -\lambda_1 + \lambda_2 + 2\lambda_3 \end{cases} $$ $$ \begin{cases} a = \lambda_1 v_{1_1} + \lambda_2 v_{2_1} + \lambda_3 v_{3_1} \\ b = \lambda_1 v_{1_2} + \lambda_2 v_{2_2} + \lambda_3 v_{3_2} \end{cases} $$ $$ \downarrow $$ $$ \begin{cases} a = \lambda_1 + 2\lambda_2 \\ b = -\lambda_1 + \lambda_2 + 2\lambda_3 \end{cases} $$

Fate attenzione a questo sistema. Anzitutto chi sono le incognite e chi i parametri liberi ecc. Siccome il sistema deve valere per qualunque vettore \( v = (a, b)\), \(a\) e \( b\) sono liberi di assumere qualunque valore (sono i parametri liberi), mentre \( \lambda_1, \lambda_2 \) e \( \lambda_3 \) sono le incognite. Dobbiamo risolvere il sistema rispetto a queste incognite.

$$ \begin{cases} a = \lambda_1 + 2\lambda_2 \\ b = -\lambda_1 + \lambda_2 + 2\lambda_3 \end{cases} \longrightarrow \begin{cases} \lambda_1 = a - 2\lambda_2 \\ b = 2\lambda_2 - a + \lambda_2 + 2\lambda_3 \end{cases} \longrightarrow \begin{cases} \lambda_1 = a - 2\lambda_2 \\ \lambda_2 = { b + a -2\lambda_3 \over 3}\end{cases} $$ $$ \large \begin{cases} \lambda_1 = a - 2{ b + a -2\lambda_3 \over 3} \\ \lambda_2 = { b + a -2\lambda_3 \over 3}\end{cases} $$ $$ \begin{cases} a = \lambda_1 + 2\lambda_2 \\ b = -\lambda_1 + \lambda_2 + 2\lambda_3 \end{cases} \longrightarrow \begin{cases} \lambda_1 = a - 2\lambda_2 \\ b = 2\lambda_2 - a + \lambda_2 + 2\lambda_3 \end{cases} \longrightarrow \begin{cases} \lambda_1 = a - 2\lambda_2 \\ \lambda_2 = { b + a -2\lambda_3 \over 3}\end{cases} $$ $$ \large \begin{cases} \lambda_1 = a - 2{ b + a -2\lambda_3 \over 3} \\ \lambda_2 = { b + a -2\lambda_3 \over 3}\end{cases} $$ $$ \begin{cases} a = \lambda_1 + 2\lambda_2 \\ b = -\lambda_1 + \lambda_2 + 2\lambda_3 \end{cases} $$ $$ \downarrow $$ $$ \begin{cases} \lambda_1 = a - 2\lambda_2 \\ b = 2\lambda_2 - a + \lambda_2 + 2\lambda_3 \end{cases} $$ $$ \downarrow $$ $$ \begin{cases} \lambda_1 = a - 2\lambda_2 \\ \lambda_2 = { b + a -2\lambda_3 \over 3}\end{cases} $$ $$ \downarrow $$ $$ \large \begin{cases} \lambda_1 = a - 2{ b + a -2\lambda_3 \over 3} \\ \lambda_2 = { b + a -2\lambda_3 \over 3}\end{cases} $$
Cosa abbiamo ottenuto? Guardate le espressioni, abbiamo \( \lambda_1\) e \( \lambda_2\) in funzione naturalmente di \( a\) e \( b\), ma anche di \( \lambda_3\). Questo significa una sola cosa: il sistema ammette \( \infty\) soluzioni (perché \( \lambda_3\) è un parametro), quindi il sistema è indeterminato. Ora al di la della soluzione in se che ci interessa poco, quello che ci interessa è che questa soluzione esiste.


$$ \heartsuit $$

Cosa possiamo dire riguardo ai vettori \( v_1, v_2\) e \( v_3\)? Essi sono sicuramente dei generatori perché il sistema ammette \( \infty \) soluzioni. ma proprio per il fatto che ne ammette infinite (\( \infty\)) e non una sola che il concetto di generatore non va bene per i nostri scopi, esso è indeterminato, nel senso che esistono (infinite combinazioni lineari per esprimere lo stesso vettore)! Oppure, che è lo stesso, il vettore \( v\) si può esprimere come combinazione lineare dei vettori generatori \( v_1, v_2\) e \( v_3\) in infiniti modi. Sarebbe utile che il sistema ammettesse un'unica soluzione in modo che la combinazione lineare sia unica... questo lo vedremo nelle prossime pagine introducendo il concetto fondamentale di base di uno spazio vettoriale.

$$ \diamond $$
BACK HOME NEXT

Copyright©2018 YouSciences | All rights Reserved
written and designed by Giuseppe Sottile


Supportaci con una donazione


YouSciences


PhysMath