La formula di Grassmann

E' senza dubbio, una delle formule più importanti nell'ambito della teoria dei sottospazi vettoriali. Essa esprime un'uguaglianza in termini di dimensioni di sottospazi notevoli. La formula di Grassmann è la seguente: $$ {\large dim(\mathbb U) + dim(\mathbb W) = dim(\mathbb U \cap \mathbb W) + dim(\mathbb U + \mathbb W )} $$ $$ {\large dim(\mathbb U) + dim(\mathbb W) = dim(\mathbb U \cap \mathbb W) + dim(\mathbb U + \mathbb W )} $$ $$ \large dim(\mathbb U) + dim(\mathbb W) $$ $$ = $$ $$ dim(\mathbb U \cap \mathbb W) + dim(\mathbb U + \mathbb W ) $$ La somma delle dimensioni di due sottospazi è pari alla somma della dimensione della somma più la dimensione dell'intersezione. Nulla di più ovvio! E' un concetto semplicissimo, forse il difficile è ricordarsi la definizione formale, ma sostanzialmente la formula dice la seguente cosa:

Se prendo due sottospazi e sommo le loro dimensioni (tipo se prendo due rette esse hanno ciascuna dimensione 1 quindi la somma delle dimensioni è 1+1=2).

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