Intersezione di sottospazi

Consideriamo uno spazio vettoriale \( \mathbb V \) e due suoi sottospazi vettoriali. \(\mathbb W \subseteq \mathbb V, \mathbb U \subseteq \mathbb V \). Definiamo lo spazio intersezione: $$ ( \mathbb W \cap \mathbb U ) = \left\{ v | v\in \mathbb U \wedge v \in \mathbb W \right\} $$ Sostanzialmente consideriamo l'insieme di tutti gli elementi in comune ai due sottospazi. Ogni elemento deve appartenere sia al primo che al secondo dei due spazi. La domanda che ci poniamo è la seguente:

L'intersezione dei sottospazi (\( \mathbb W \cap \mathbb U \)) è ancora un sottospazio? Valgono le proprietà di chiusura per la somma e per il prodotto? Cerchiamo di dare una risposta.

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Andiamo a verificare se la somma vale per l'intersezione: prendiamo due vettori appartenenti all'intersezione $$ v_1 \in \mathbb U \cap \mathbb W \hspace{7mm} v_2 \in \mathbb U \cap \mathbb W $$ Per definizione di intersezione ogni vettore appartiene ad entrambi i sottospazi $$ \begin{cases} v_1 \in \mathbb U \cap \mathbb W \Leftrightarrow v_1 \in \mathbb W \wedge v_1 \in \mathbb U \\ v_2 \in \mathbb U \cap \mathbb W \Leftrightarrow v_2 \in \mathbb W \wedge v_2 \in \mathbb U \end{cases} $$ Facciamo la somma tra i due vettori e chiediamoci se appartiene anch'essa all'intersezione: $$ v_1 + v_2 \underset{?}{\in} \mathbb W \cap \mathbb U $$ Siccome \( \mathbb U \) per ipotesi, è un sottospazio, il vettore \( v_1 + v_2 \in \mathbb U \) infatti sia \( v_1 \) che \(v_2\) appartengono ad \( \mathbb U \) e lo stesso per la somma, quindi abbiamo verificato che la somma è chiusa rispetto all'intersezione di sottospazi. Vediamo se lo stesso vale per il prodotto di un vettore per uno scalare. Consideriamo uno scalare \( \lambda \) appartenente ad un campo \( \mathbb K\) $$v \in \mathbb U \cap \mathbb W \Leftrightarrow v \in \mathbb W \wedge v \in \mathbb U $$ cosa possiamo dire del vettore \( \lambda v\)? $$ \lambda v \underset{?}{\in} \mathbb W \cap \mathbb U $$ Seguendo lo stesso ragionamento visto per la somma, siccome \( \mathbb U \) è sottospazio vettoriale, esso è chiuso rispetto al prodotto per uno scalare quindi certamente \( \lambda v \in \mathbb U \), lo stesso vale per \( \mathbb W \) e quindi \( \lambda v \in \mathbb W \), allora possiamo concludere che: $$\lambda v \in \mathbb U \cap \mathbb W \Leftrightarrow \lambda v \in \mathbb W \wedge \lambda v \in \mathbb U $$ $$\diamond\diamond\diamond$$ E questo dimostra che l'intersezione di sottospazi è un sottospazio \( _\square \)

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