Lineare dipendenza

Se un certo insieme di vettori sono linearmente dipendenti, uno di loro e sicuramente combinazione degli altri. Se ne può scrivere una loro combinazione lineare nulla a coefficienti non nulli.

Prendiamo uno s.v. qualunque ed un insieme di vettori \( v_1, v_2, \ldots, v_n \), allora i vettori sono l.d. se e solo se, il generico vettore \( v_i \) si esprime come combinazione degli altri $$ v_i = a_1v_1 + a_2v_2 + \ldots + a_nv_n = \sum_{i=1}^n \lambda_iv_i $$

DIMOSTRAZIONE (\( \large {\Rightarrow} \))

Supponiamo di avere i vettori \( v_1, ..., v_n \) linearmente dipendenti:
allora esistono \( \lambda_1, ...., \lambda_n \) non tutti nulli, tali per cui, la loro combinazione lineare è uguale al vettore nullo \( \overset{\rightarrow}{0} \)
Ne esiste almeno uno diverso da zero (non so quale) supponiamo sia \( \lambda_i \neq 0 \)
allora lo isolo a sinistra $$ \lambda_iv_i = -\lambda_1v_ - \ldots - \lambda_nv_n $$ siccome è diverso da zero, divido tutto per \( \lambda_i \) $$ \frac{\lambda_i}{\lambda_i}v_i = -\frac{\lambda_1}{\lambda_i}v_1 - \ldots -\frac{\lambda_n}{\lambda_i}v_n $$ poniamo per semplicità \( a_i = \frac{\lambda_i}{\hat\lambda} \) $$ v_i = a_1v_1 + \ldots + a_nv_n $$
$$ \diamond$$
DIMOSTRAZIONE (\( \large {\Leftarrow} \))

Supponiamo che il generico vettore \( v_i \) è combinazione lineare dei vettori rimanenti: $$ v_i = a_1v_1 + \ldots + a_nv_n $$ Per dimostrare che i vettori sono effettivamente l.d. , devo scrivere una combinazione lineare nulla con almeno un coefficiente diverso da zero. Portando \( v_i\) a secondo membro e cambiandolo di segno ottengo: $$ a_1v_1 + \ldots + a_nv_n -v_i = \overset{\rightarrow}{0} $$ Ora è facile verificare che non tutti i coefficienti sono nulli, infatti il coefficiente di \( v_i \) è \(-1\) e questo basta per dimostrare l'asserto.
$$ \diamond $$
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