Somma di sottospazi

Abbiamo visto che l'unione non è in generale un sottospazio vettoriale. A tal proposito costruiamo una nuova operazione per rimediare ai problemi legati all'unione di sottospazi. introduciamo la somma di sottospazi

Consideriamo uno spazio vettoriale \( \mathbb V \) e due suoi sottospazi vettoriali. \(\mathbb W \subseteq \mathbb V, \mathbb U \subseteq \mathbb V \). Definiamo lo spazio somma:

\( (\mathbb W + \mathbb U ) \) = Il più piccolo sottospazio di \( \mathbb V\) che contiene l'unione

In pratica rimpiazzo l'unione con la somma e sono certo che si tratta di un sottospazio per definizione. Certamente nella somma trovo tutti i vettori di U e tutti i vettori di W, ma anche qualcos'altro ossia anche tutte le somme di vettori di U e di W e tutti i prodotti di un vettore per uno scalare, perchè altrimenti non sarebbe chiuso rispetto alla somma di vettori ed al prodotto per uno scalare contro la definizione di sottospazio.

Motivazioni all'introduzione della somma
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