Spazio generato

Volendo generalizzare l'operazione di somma di sottospazi vettoriali, possiamo introdurre il concetto di spazio generato da un insieme di vettori. Questi vettori in generale, immaginiamo di prenderli da uno spazio vettoriale \( \mathbb V\) senza alcuna particolare proprietà e metterli tutti in un insieme \( \mathbb S \). Fate attenzione che questo insieme \( \mathbb S \) non è un sottospazio vettoriale, ma un semplice sottoinsieme (contenitore) di alcuni vettori di \( \mathbb V \).

Possiamo chiederci ora qual è il più piccolo sottospazio vettoriale che contiene \( \mathbb S \). Se questo sottospazio esiste lo chiameremo spazio generato da \( \mathbb S \). Esistono diverse notazioni per indicare lo spazio generato da un insieme di vettori: $$ {\large L(\mathbb S)} \hspace{1cm} {\large span(\mathbb S)} \hspace{1cm} {\large \langle \mathbb S \rangle} $$ Questo spazio \( \langle \mathbb S \rangle \) si può definire $$ { \langle \mathbb S \rangle} = \left\{ \lambda_1v_1 + \lambda_2v_2 + \ldots + \lambda_nv_n | v_i \in \mathbb S, \lambda_i \in \mathbb K \right\} $$ $$ { \langle \mathbb S \rangle} = \left\{ \lambda_1v_1 + \lambda_2v_2 + \ldots + \lambda_nv_n | v_i \in \mathbb S, \lambda_i \in \mathbb K \right\} $$ $$\Large { \langle \mathbb S \rangle} $$ $$\downarrow $$ $$ \small \left\{ \lambda_1v_1 + \lambda_2v_2 + \ldots + \lambda_nv_n | v_i \in \mathbb S, \lambda_i \in \mathbb K \right\} $$ $$ { \langle \mathbb S \rangle} = \left\{ \sum_{i=1}^n \lambda_iv_i | v_i \in \mathbb S, \lambda_i \in \mathbb K \right\} $$ Dalla definizione è semplice constatare che per costruire questo sottospazio, basta prendere tutti i vettori di \( \mathbb S \) e combinarli linearmente con dei coefficienti di un campo \(\mathbb K\)

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