Test di verifica sottospazio

Per verificare se un dato sottoinsieme di uno spazio vettoriale \( \mathrm V \) è un sottospazio vettoriale dobbiamo, (come già visto) verificare la chiusura sulla somma e sul prodotto per uno scalare. Supponiamo di considerare il seguente sottoinsieme e chiediamoci se è un sottospazio vettoriale: $$ \mathrm W = \bigl\{ (x, y) \hspace{1mm} | \hspace{2mm} 5x-y = 0 \bigr\} $$


1

Test chiusura somma (+)


Consideriamo due vettori \( v=(v_1, v_2) \in \mathrm W\) e \( w(w_1, w_2) \in \mathrm W\). Siccome appartengono a \( \mathrm W \) allora $$ \begin{cases} 5v_1 - v_2 = 0 \\ 5w_1 - w_2 = 0 \end{cases} $$ Per verificare la chiusura sulla somma allora sommando i due vettori dobbiamo ottenere ancora un vettore di \( \mathrm W\): $$ v + w \in \mathrm W ? $$ $$ \downarrow $$ $$ v + w = (v_1+w_1, v_2+w_2) = 5(v_1+w_1)-(v_2+w_2) = 5v_1-v_2 + 5w_1-w_2 $$ $$ v + w = (v_1+w_1, v_2+w_2) = 5(v_1+w_1)-(v_2+w_2) = 5v_1-v_2 + 5w_1-w_2 $$ $$ v + w = (v_1+w_1, v_2+w_2) = $$ $$ = 5(v_1+w_1)-(v_2+w_2) = $$ $$ = 5v_1-v_2 + 5w_1-w_2 $$ $$ 5(v_1+w_1)-(v_2+w_2) = 0 $$ Abbiamo dimostrato che \( \mathrm W \) conserva la somma.


2

Test chiusura prodottop per uno scalare (\cdot)


Verifichiamo il prodotto per uno scalare. Consideriamo un generico scalare reale \( \lambda \in \mathbb R \) ed un vettore \( v \in \mathrm W \). Allora possiamo scrivere che: $$ 5v_1 - v_2 = 0 $$ Chiediamoci se il prodotto appartiene a \( \mathrm W\). $$ \lambda v \in \mathrm W ? $$ $$ \downarrow $$ $$ \lambda v = \lambda(v_1, v_2) = (\lambda v_1, \lambda v_2) = 5\lambda v_1 - \lambda v_2 $$ $$ \lambda v = \lambda(v_1, v_2) = (\lambda v_1, \lambda v_2) = 5\lambda v_1 - \lambda v_2 $$ $$ \lambda v = \lambda(v_1, v_2) = (\lambda v_1, \lambda v_2) = $$ $$ = 5\lambda v_1 - \lambda v_2 $$ Ma siccome \( 5v_1 - v_2 = 0 \) cioè \( 5v_1 = v_2 \) (per definizione di sottospazio) allora sostituendo abbiamo: $$ 5\lambda v_1 - \lambda v_2 = \lambda v_2 - \lambda v_2 = 0 $$ Abbiamo dimostrato che \( \mathrm W \) conserva il prodotto per uno scalare.

Possiamo concludere che \( \mathrm W \) è un sottospazio vettoriale di \( \mathrm V \).

Nelle proissime pagine risolveremo degli esempi numerici.

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