Unione di sottospazi

Consideriamo uno spazio vettoriale \( \mathbb V \) e due suoi sottospazi vettoriali. \(\mathbb W \subseteq \mathbb V, \mathbb U \subseteq \mathbb V \). Definiamo lo spazio unione: $$ ( \mathbb W \cup \mathbb U ) = \left\{ v | v\in \mathbb U \vee v \in \mathbb W \right\} $$ Sostanzialmente consideriamo l'insieme di tutti gli elementi dei due sottospazi. Ogni elemento appartiene sia al primo che al secondo dei due spazi. La domanda che ci poniamo è la seguente:

L'unione dei sottospazi (\( \mathbb W \cup \mathbb U \)) è ancora un sottospazio? Valgono le proprietà di chiusura per la somma e per il prodotto? Cerchiamo di dare una risposta.

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Andiamo a verificare se la somma vale per l'unione: prendiamo due vettori appartenenti all'unione $$ v_1 \in \mathbb U \cup \mathbb W \hspace{7mm} v_2 \in \mathbb U \cup \mathbb W $$ Per definizione di unione ogni vettore appartiene ad uno dei due spazi. $$ \begin{cases} v_1 \in \mathbb U \cup \mathbb W \Leftrightarrow v_1 \in \mathbb W \vee v_1 \in \mathbb U \\ v_2 \in \mathbb U \cup \mathbb W \Leftrightarrow v_2 \in \mathbb W \vee v_2 \in \mathbb U \end{cases} $$ Facciamo la somma tra i due vettori e chiediamoci se appartiene anch'essa all'unione: $$ v_1 + v_2 \underset{?}{\in} \mathbb W \cup \mathbb U $$ Qui le cose sono diverse dal caso dell'intersezione perchè le condizioni di appartenenza sono più deboli rispetto al caso precedente non è detto che \( v_1 \) appartenza contemporaneamente ai due sottospazi, potrebbe accadere che v1 appartiene a u ma v2 appartiewne a W e facendo la somma con un vettore di V con uno di W, il risultato non sta ne in U che in W, non sappiamo cosa accade precisamente, di conseguenza in generale non è un ssv.

Possiamo concludere che in generale l'unione di sottospazi non è un sottospazio.

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