Differenza di vettori

La differenza vettoriale è definita come la somma di un vettore con l'opposto del secondo. Se considero un vettore \( v\) il vettore opposto di \( v\) è quel vettore \( w\) tale per cui la somma e pari al vettore nullo \(v+w = 0 \). in generale per semplificare la notazione si indica \( w = -v\) (si introduce il segno meno (-)) .

In termini di componenti, se considero un trivettore: $$ \mathbb R^3 \ni v = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} $$ allora il suo opposto, si ottiene semplicemente cam,biando si segno ogni elemento del vettore (si calcolano gli opposti di ogni numero nel vettore) $$ -v = \begin{pmatrix} -x \\ -y \\ -z \end{pmatrix} $$

si verifica quindi che: $$ v + (-v) = v-v = \begin{pmatrix} x-x \\ y-y \\ z-z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = 0 $$ $$ v + (-v) = v-v = \begin{pmatrix} x-x \\ y-y \\ z-z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = 0 $$ $$ v + (-v) = v-v = $$ $$ \downarrow $$ $$= \begin{pmatrix} x-x \\ y-y \\ z-z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = 0 $$ $$ \diamond\diamond\diamond $$

Geometricamente, la differenza vettoriale, si interpreta ricorrendo al parallelogramma, come per la somma. In questo caso, mentre la somma è rappresentata dalla diagonale maggiore del parallelogramma formato dai vettori (come lati), la differenza è rappresentata dalla diagonale minore del medesimo parallelogramma, come mostrato in figura: