Abbiamo visto come, sommare più volte un vettore a se stesso produce un nuovo tipo di operazione. Invece di ripetere la somma più volte si preferisce eseguire un prodotto dello stesso vettore per un numero reale o complesso \( \lambda \), il quale rappresenta il numero di addendi da sommare. Questa operazione prende il nome di prodotto per uno scalare (da non confondere con il prodotto scalare) che vedremo in seguito.
Osserviamo che il prodotto per uno scalare prende in input un vettore e restituisce in output un vettore, dilatato o contratto a seconda che lo scalare sia maggiore o minore di \( 1\). In formule:
$$ \lambda v = \lambda \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \lambda x\\ \lambda y \end{pmatrix}, \hspace{1cm} v \in \mathbb R^2$$ $$ \lambda v = \lambda \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \lambda x \\ \lambda y\\ \lambda z \end{pmatrix}, \hspace{1cm} v \in \mathbb R^3$$
Da un punto di vista grafico o geometrico se il vettore \( v\) è rappresentato da una freccia avente un certo modulo, una certa direzione ed un certo verso, a seguito del prodotto per uno scalare possono presentarsi situazioni diverse: Analizziamo i casi



Consideriamo un paio di esempi numerici
$$ v = \begin{pmatrix} 2 \\ 5\end{pmatrix} \rightarrow 4v = 4\begin{pmatrix} 2 \\ 5\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4\cdot2 \\ 4\cdot5\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 \\ 20\end{pmatrix} $$
$$ w = \begin{pmatrix} \sqrt{6} \\ -\pi \\ 0\end{pmatrix} \rightarrow -2w = -2\begin{pmatrix} \sqrt{6} \\ -\pi \\ 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2\sqrt{6} \\ 2\pi \\ 0\end{pmatrix} $$
$$ v = \begin{pmatrix} 2 \\ 5\end{pmatrix} \rightarrow 4v = 4\begin{pmatrix} 2 \\ 5\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4\cdot2 \\ 4\cdot5\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 \\ 20\end{pmatrix} $$
$$ w = \begin{pmatrix} \sqrt{6} \\ -\pi \\ 0\end{pmatrix} \rightarrow -2w = -2\begin{pmatrix} \sqrt{6} \\ -\pi \\ 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2\sqrt{6} \\ 2\pi \\ 0\end{pmatrix} $$
$$ v = \begin{pmatrix} 2 \\ 5\end{pmatrix} \rightarrow 4v = 4\begin{pmatrix} 2 \\ 5\end{pmatrix} = $$ $$ =\begin{pmatrix} 4\cdot2 \\ 4\cdot5\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 \\ 20\end{pmatrix} $$
$$ w = \begin{pmatrix} \sqrt{6} \\ -\pi \\ 0\end{pmatrix} \rightarrow -2w = $$ $$ = -2\begin{pmatrix} \sqrt{6} \\ -\pi \\ 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2\sqrt{6} \\ 2\pi \\ 0\end{pmatrix} $$
