Abbiamo visto come, sommare più volte un vettore a se stesso produce un nuovo tipo di operazione. Invece di ripetere la somma più volte si preferisce eseguire un prodotto dello stesso vettore per un numero reale o complesso \( \lambda \), il quale rappresenta il numero di addendi da sommare. Questa operazione prende il nome di prodotto per uno scalare (da non confondere con il prodotto scalare) che vedremo in seguito.

Osserviamo che il prodotto per uno scalare prende in input un vettore e restituisce in output un vettore, dilatato o contratto a seconda che lo scalare sia maggiore o minore di \( 1\). In formule:

$$ \lambda v = \lambda \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \lambda x\\ \lambda y \end{pmatrix}, \hspace{1cm} v \in \mathbb R^2$$ $$ \lambda v = \lambda \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \lambda x \\ \lambda y\\ \lambda z \end{pmatrix}, \hspace{1cm} v \in \mathbb R^3$$

Da un punto di vista grafico o geometrico se il vettore \( v\) è rappresentato da una freccia avente un certo modulo, una certa direzione ed un certo verso, a seguito del prodotto per uno scalare possono presentarsi situazioni diverse: Analizziamo i casi

Moltiplicare un vettore per lo scalare \( \lambda = -1 \) produce un nuovo vettore avente verso opposto. Direzione e modulo restano invariati. $$ -1v = -v = \begin{pmatrix} -x \\ -y\end{pmatrix} $$
Una contrazione si ottiene moltiplicando un vettore per uno scalare minore di \( 1\). Ed una dilatazione mediante uno scalare maggiore di \( 1\) $$ \frac{1}{2}v = \begin{pmatrix} \frac{1}{2}x \\ \frac{1}{2}y\end{pmatrix} $$
Il vettore nullo da non confondere con lo zero scalare è un vettore con tutte le componenti nulle. $$ 0v = \begin{pmatrix} 0 \\ 0\end{pmatrix} = \vec{0} $$
ESEMPIO 1

Consideriamo un paio di esempi numerici $$ v = \begin{pmatrix} 2 \\ 5\end{pmatrix} \rightarrow 4v = 4\begin{pmatrix} 2 \\ 5\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4\cdot2 \\ 4\cdot5\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 \\ 20\end{pmatrix} $$ $$ w = \begin{pmatrix} \sqrt{6} \\ -\pi \\ 0\end{pmatrix} \rightarrow -2w = -2\begin{pmatrix} \sqrt{6} \\ -\pi \\ 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2\sqrt{6} \\ 2\pi \\ 0\end{pmatrix} $$ $$ v = \begin{pmatrix} 2 \\ 5\end{pmatrix} \rightarrow 4v = 4\begin{pmatrix} 2 \\ 5\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4\cdot2 \\ 4\cdot5\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 \\ 20\end{pmatrix} $$ $$ w = \begin{pmatrix} \sqrt{6} \\ -\pi \\ 0\end{pmatrix} \rightarrow -2w = -2\begin{pmatrix} \sqrt{6} \\ -\pi \\ 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2\sqrt{6} \\ 2\pi \\ 0\end{pmatrix} $$ $$ v = \begin{pmatrix} 2 \\ 5\end{pmatrix} \rightarrow 4v = 4\begin{pmatrix} 2 \\ 5\end{pmatrix} = $$ $$ =\begin{pmatrix} 4\cdot2 \\ 4\cdot5\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 \\ 20\end{pmatrix} $$

$$ w = \begin{pmatrix} \sqrt{6} \\ -\pi \\ 0\end{pmatrix} \rightarrow -2w = $$ $$ = -2\begin{pmatrix} \sqrt{6} \\ -\pi \\ 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2\sqrt{6} \\ 2\pi \\ 0\end{pmatrix} $$

Formula generale
Più in generale in uno spazio ad \( n\) dimensioni, indicato con \( \mathbb R^n \) la formula è analoga, tranne che abbiamo un numero maggiore di componenti: se considero un vettore \( v \in \mathbb R^n \) di componenti: $$ v = \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \\ \vdots \\ v_n \end{pmatrix} $$ il prodotto per lo scalare \( \lambda \in \mathbb R \) si ottiene moltiplicando ciascuna componente del vettore \( v \) per lo scalare \( \lambda \): $$ \lambda v = \lambda \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \\ \vdots \\ v_n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \lambda v_1 \\ \lambda v_2 \\ \lambda v_3 \\ \vdots \\\lambda v_n \end{pmatrix} $$
$$ \diamond $$