Insiemi numerici - campi

Iniziamo ad introdurre alcuni degli insiemi fondamentali su cui opereremo nelle prossime sezioni. Il primo in assoluto è certamente l'insieme dei numeri naturali, termine che deriva dalla semplicità e dalla "naturalezza" dei numeri impiegati principalmente "per far di conto" L'insieme è così definito: $$ {\mathbb N} = \{ 1, 2, 3, 4, 5, \ldots, \infty\} $$ Se da un punto di vista strutturale ed operativo l'insieme \( {\mathbb N} \) è relativamente semplice, dall'altro le operazioni percmesse e chiuse (in gerco tecnico) sono solo la somma ed il prodotto, infatti non è possibile eseguire tutte le sottrazioni! Quando il minuendo è minore del sottraendo non è possibile operare in tale insieme e si ricorre ad un'estensione dall'insieme dei numeri naturali a quello dei relativi indicato con la lettera \({\mathbb Z}\) (da Zahal: numero in lingua tedesca).

L'insieme \({\mathbb Z}\) è detto insieme dei numeri interi-relativi (con segno). Possiamo indicarlo in uno dei due modi:

$$ {\mathbb Z} = \{ \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 5, \ldots , \infty\} $$
$$ {\mathbb Z} = \{ -\infty, \ldots, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \ldots, \infty\} $$ $$ {\mathbb Z} = \{ -\infty, \ldots, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \ldots, \infty\} $$ $$ \small {\mathbb Z} = \{ -\infty, \ldots, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \ldots, \infty\} $$

Sostanzialmente ciò che si fà è semplice! Si introducono i numeri negativi con segno e si riconduce la differenza alla somma di un numero con il suo opposto (l'opposto di un numero è quel numero che sommato al primo da come risultato \(0\) ). In questo modo è possibile operare nell'insieme \({\mathbb Z}\) somme, prodotti e differenze senza problemi. Il problema subentra nvece con le divisioni. Non è possibile fare tutte le divisioni in \({\mathbb Z}\). Ad esempio, quando dividendo e divisore non sono multipli la divisione è impossibile, e si introduce un nuovo insieme detto insieme dei numeri razionali (ratio, logos, frazione) \({\mathbb Q}\) definito nel seguente modo $$ {\mathbb Q} = \left\{ \frac{p}{q} : p \in {\mathbb Z}, q \in {\mathbb Z^{\times}} \right\} $$


Definizione di campo

Un campo è un insieme di elementi con due operazioni \( \cdot, + \) che soddisfano alle seguneti prioprietà:

[inserire proprieta somma]
[inserire proprieta prodotto]
Distributive
Sommare due numeri e moltiplicare per un terzo numero è uguale a sommare i prodotti con lo stesso numero (distribuzione)

L'importanza del concetto di campo di numeri, si rifà alla risoluzione delle equazioni ed ai sistemi di equazioni di primo grado. In particolare esistono i due principi delle equazioni, necessito dell'esistenza dei due opposti (inverso ed opposto) quindi dell'insieme \({\mathbb Q}\). Questo è fattibile solo se l'esistenza degli inversi è una proprietà posseduta.

Altri tipi dicampo sono il campo dei numeri reali {\mathbb R}, oppure il campo dei numeri complessi {\mathbb C} Ad esempio i complessi vengono usati per risolvere tutte le equazioni (comprese quielle a quadrati negativi).


Campi Finiti
Esistono dei campi che contengono un numero finito di elementi come ad esempio {\mathbb B = {0, 1}} (con l'aggiunta della proprietà 1+1=0) l'insieme è un campo. In questo campo come vedete esistono due operazioni che soddisfano alle proprietà \( + \) e \( \cdot \)

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