La disuguaglianza di Cauchy-Schwarz

Questa disuguaglianza mette in relazione il modulo (valore assoluto) del prodotto scalare con le norme (o meglio, il prodotto delle norme) dei due vettori \( v\) e \( v\). In particolare abbiamo che: $$ \large |\langle v, w \rangle |^2 \leq ||v||^2||w||^2 $$

Per dimostrare la validità di questa relazione, partiamo dalla ben nota formula del prodotto scalare: $$ \langle v, w \rangle = ||v||||w||cos(\widehat{vw}) $$ E' evidente che il prodotto scalare non può superare il prodotto delle norme; cioè essendo il coseno una funzione che oscilla tra \( -1 \) ed \( 1\): \( -1 < cos(\widehat{vw}) < 1 \), la quantità \( ||v||||w|| \) oscilla tra \( -\bigl( ||v||||w|| \bigr) \) e \( \bigl( ||v||||w|| \bigr) \), quindi il prodotto scalare è compreso nell'intervallo: $$ \large -\bigl( ||v||||w|| \bigr) < \langle v, w \rangle < \bigl( ||v||||w|| \bigr) $$ il che è equivalente a: $$ \large |\langle v, w \rangle| \leq ||v||||w|| $$ elevando tutto al quadrato, otteniamo la famosa Disuguaglianza di Cauchy-Scwarz

Disuguaglianza di Cauchy-Scwarz
$$ |\langle v, w \rangle|^2 \leq ||v||^2||w||^2 $$
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