Coordinate Polari in \( \mathbb R^2 \)

Abbiamo visto che un vettore \( v \) in un riferimento a due dimensioni, si può individuare dalle sue coordinate cartesiane, che sono le proiezioni del punto individuato dalla testa del vettore sugli assi del riferimento. Oltre a queste coordinate ne esistono di altre. Quelle che vediamo adesso si chiamano coordinate polari \( \rho \) e \( \theta \) e sono, la prima, la distanza del vettore dall'origine (la lunghezza o norma del vettore), la seconda, l'angolo formato da vettore con il semiasse positivo delle x.

Coordinate Polari nel piano
Relazioni trigonometriche elementari

Formule di Passaggio

Esiste una qualche relazione tra le coordinate cartesiane e quelle polari? Per capirlo guardiamo la figura in alto a destra. Osservate che il triangolo \( OPQ \) è rettangolo (per costruzione), di conseguenza dalla trigonometria elementare i cateti \( \overline{OQ} \) e \( \overline{PQ} \) corrispondono alle coordinate \( x\) ed \( y\) e sono dati dalle seguenti relazioni trigonometriche:

$$ \Large \begin{cases} x = \rho cos(\theta) \\ y = \rho sin(\theta) \end{cases} $$

Quindi se conosciamo le coordinate polari \( \rho \) e \( \theta \), attraverso queste relazioni possiamo passare alle coordinate cartesiane, mentre come facciamo, conoscendo le coordinate cartesiane a passare alle coordinate polari?

Per calcolare \( \rho \), il discordo è banale, basta osservare che essendo la lunghezza del vettore, corrisponde all'ipotenusa del triangolo rettangolo quindi la formula di passaggio è: $$ \Large \rho = \sqrt{x^2+y^2} $$

Il discorso si complica (ma solo di poco) quando vogliamo ricavare \( \theta \). Se facciamo il rapporto dei cateti (dalla trigonometria), otteniamo: $$ \require{cancel} {y \over x} = {\bcancel{\rho} sin(\theta) \over \bcancel{\rho} cos(\theta)} = tan(\theta) $$ La tangente dell'angolo. Se ora proviamo a ricavare \( \theta\) calcolando l'arcotangente del rapporto \( {y\over x}\) dobbiamo fare attenzione perchè la tangente è invertibile in \( ]0, \pi[ \), inoltre per \( x=0\) l'espressione non ha alcun senso. Di conseguenza, se il punto appartiene al primo quadrante, l'espressione è valida, altrimenti il consiglio è quello di farsi un disegno e correggere l'angolo di conseguenza.

$$ \diamond\diamond $$
Esempi

Per iniziare ad impadronirci, vediamo qualche esempio di passaggio di coordinate:

Passaggio dalle coordinate polari a quelle cartesiane
Dati i seguenti punti di coordinate cartesiane: \( (0, 1) \hspace{1cm} (-1, 1) \hspace{1cm} (0, 0) \):
Ricavare le coordinate polari.

Dalle formule di conversione calcoliamo il modulo di ciascun vettore: $$ \begin{align} \rho_1 = \sqrt{0^2+1^2} = \sqrt{1} = 1 \\ \rho_2 = \sqrt{(-1)^2+1^2} = \sqrt{2} \\ \rho_3 = \sqrt{0^2+0^2} = \sqrt{0} = 0 \end{align} $$

Calcoliamo ora gli angoli. Il punto \( (0, 1) \) ha la \( x \) nulla, di conseguenza non possiamo applicare la formula, ma dal disegno si evince facilmente che l'angolo è piatto \( \theta_1 = 90° \equiv {\pi \over 2} \). Il punto \( (-1, 1) \) si trova nel secondo quadrante, se proviamo ad applicare la formula \( \tan(\theta) = {1 \over -1} \), allora invertendo otteniamo \( arctg(-1) = \theta = -{\pi \over 4} = -45° \) ma nel grafico in realtà l'angolo corretto è \( \theta_2 = {3 \over 4}\pi \) (osservate come abbiamo dovuto aggiungere \( \pi \)). Infine il punto \( (0, 0)\) è l'unico punto singolare avente \( \rho = 0 \) e \( \theta = n.d. \) (qualsiasi angolo va bene). Riassumendo: $$ \begin{align} \theta_1 = {\pi \over 2} \\ \theta_2 = {3 \over 4}\pi \\ \theta_3 = n.d. \end{align} $$

BACK HOME NEXT

Copyright©2018 YouSciences | All rights Reserved
written and designed by Giuseppe Sottile


Supportaci con una donazione


YouSciences


PhysMath