Prodotto scalare

Il prodotto scalare è forse, l'operazione più importante del calcolo vettoriale. A questo punto del corso, è forse troppo presto per parlarne approfonditamente, ma siccome è davvero fondamentale, non posso non parlarvene, almeno introducendolo; poi, più avanti ne parleremo più approfonditamente. Mi raccomando non confondete il prodotto scalare con il prodotto per uno scalare. Il prodotto di un vettore per uno scalare restituisce un vettore, mentre il prodotto scalare si fa tra due vettori e restituisce un numero (scalare).

Consideriamo due vettori ad esempio di \( \mathbb R^3 \) \( v \in \mathbb R^3 \) e \( w \in \mathbb R^3 \). Il prodotto scalare, da un punto di vista astratto è una funzione definita nel modo seguente: $$ \langle\cdot, \cdot\rangle : \mathbb R^3 \times \mathbb R^3 \rightarrow \mathbb R $$

Questa definizione significa una cosa semplice: la funzione prende in input due vettori ed associa ad esse un numero reale. Questo numero reale può essere positivo, negativo o nullo, a seconda dei casi, vedremo in seguito che abbiamo comportamenti differenti.

Notazioni

Per indicare il prodotto scalare esistono diverse notazioni. Che chi usa le parentesi tonde, chi usa il punto (dot) e chi come me preferisce le parentesi angolari, voi scegliete il modo che più vi piace, ma cercate di non mischiare in uno stesso contesto notazioni differenti.

$$ (v, w) \hspace{3cm} u {\Large \cdot} w \hspace{3cm} u, w > \hspace{3cm} \langle u, w\rangle $$
Prodotto scalare per componenti

Se i vettori sono rappresentati in un riferimento cartesiano attraverso le componenti, la formula per il prodotto scalare assume la seguente espressione $$ \langle v, w \rangle = \langle \begin{pmatrix}v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} w_1 \\ w_2 \\ w_3 \end{pmatrix} \rangle = \sum_{i=1}^n v_iw_i $$

ESEMPIO

Supponiamo di considerare i vettori: \( u =(1, 0, -2) \) e \( w =(-2, 3, 1) \), allora il prodotto scalare si ottiene applicando la formula per componenti: $$ \langle u, w \rangle = \langle (1, 0, -2), (-2, 3, 1) \rangle = 1(-2) + 0(3) + (-2)1 = -2 + 0 - 2 = -4 $$


Provate a risolvere questi semplici esercizi sul prodotto scalare, per impadronirvi della formula.

$$ \diamond\diamond $$
Proprietà del prodotto scalare

Presento le proprietà del prodotto scalare senza dimostrazioni. Nelle prossime pagine, in particolare nel capitolo relativo ad \( \mathbb R^n\) troverete le dimostrazioni di suddette formule.

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