Geometria del prodotto scalare

Il prodotto scalare ha una interpretazione geometrica molto importante che se ben compresa, vi aiuterà a capire molti fatti e questioni future. In poche parole posso dirvi che il prodotto scalare tra due vettori è legato al come questi vettori sono orientati nello spazio.

Consideriamo due vettori \( v \equiv (v_1, v_2) \) e \( w \equiv (w_1, w_2) \) applicati entrambi nell'origine. Sappiamo che il prodotto scalare tra i due vettori è dato dalla formula (per componenti): $$ \langle v, w \rangle = \sum_{i=1}^2 v_iw_i = v_1w_1 + v_2w_2 $$

Vettori applicati in un punto

Prodotto scalare in coordinate polari

Facendo uso delle coordinate polari, trasformiamo i vettori: $$ \begin{cases} v_1 = \rho_v cos(\theta_v) \\ v_2 = \rho_v sin(\theta_v) \end{cases} \hspace{3cm} \begin{cases} w_1 = \rho_w cos(\theta_w) \\ w_2 = \rho_w sin(\theta_w) \end{cases} $$ Se sostituiamo le relazioni polari nella formula del prodotto scalare abbiamo che: $$ \langle v, w \rangle = v_1w_1 + v_2w_2 = \rho_v cos(\theta_v) \rho_w cos(\theta_w) + \rho_v sin(\theta_v) \rho_w sin(\theta_w) $$ raccogliendo \( \rho_v\rho_w \): $$ \rho_v\rho_w \bigl( cos(\theta_v) cos(\theta_w) + sin(\theta_v) sin(\theta_w) \bigr) = \\ = \rho_v\rho_w cos(\theta_v-\theta_w) $$

Abbiamo ricavato una formula alternativa (importantissima) ,che esprime il prodotto scalare in funzione della norma e del coseno dell'angolo tra i due vettori: $$ \large \langle v, w \rangle = ||v||||w||cos(\widehat{vw}) $$

Configurazioni

Possiamo distinguere \( 3\) casi differenti di configurazione di due vettori. Queste configurazioni possono essere associate al prodotto scalare. Sostanzialmente anche se non vediamo graficamente i vettori possiamo risalire al loro assetto guardando il prodotto scalare. Nelle tre figure in basso se il prodotto scalare è positivo (i vettori \( v\) e \( w\) formano un angolo \( \theta \) minore di \( 90°\) (acuto). Se il prodotto scalare è negativo, (i vettori \( v\) e \( w\) formano un angolo \( \theta \) maggiore di \( 90°\) (ottuso), infine se il prodotto scalare è \( 0\) (i vettori \( v\) e \( w\) formano un angolo \( \theta \) esattamente di \( 90°\) (retto). Osservate che l'angolo \( \theta \) nella formula del prodotto scalare è quello (minore) tra gli angoli formati dai due vettori (quello interno per capirci).

Vettori (angolo acuto)
Vettori (angolo ottuso)
Vettori (angolo retto)

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