Prodotto vettoriale

Mentre il prodotto scalare associa a due vettori un numero (uno scalare), il prodotto vettoriale associa a due vettori un vettore. Rispetto al prodotto scalare, il prodotto vettoriale è caratteristico dello spazio tridimensionale euclideo \( \mathbb R^3 \). Possiamo vederlo come una funzione che prende due terne e restituisce una terna. $$ {\large (\cdot \times \cdot) : \mathbb R^3 \times \mathbb R^3 \rightarrow \mathbb R^3} $$

Esistono principalmente due modi distinti di indicare il prodotto vettoriale, uno è il metodo tradizionale con il "cappuccio" \( {\small \wedge} \), l'altro con il "cross" \( \times\). Se voglio indicare ad esempio il prodotto vettoriale dei due vettori \( v\) e \( w \) posso farlo in questo modo: $$ {\large v {\small \wedge} w \hspace{1cm} v \times w}$$

Se ci troviamo in uno spazio munito di un sistema di riferimento cartesiano, in modo che ad ogni vettore sono associate le componenti, il prodotto vettoriale si esprime mediante la formula per componenti. Consideriamo due vettori di \( v \in \mathbb R^3\) e \( w \in \mathbb R^3\). Adottiamo la notazione a pedici per le componenti:

$$ v = \begin{pmatrix}v_1 \\ v_2 \\ v_3\end{pmatrix} \hspace{1cm} w = \begin{pmatrix}w_1 \\ w_2 \\ w_3\end{pmatrix}$$
I PRODOTTI VETTORIALI ELEMENTARI

Per il prodotto vettoriale valgono le seguenti relazioni elementari sui versori fondamentali
$$ \hat{k} = \hat{i} \times \hat{j}$$
$$ \hat{i} = \hat{j} \times \hat{k}$$
$$ \hat{j} = \hat{k} \times \hat{i}$$

Esprimiamo i due vettori mediante la decomposizione vettoriale lungo le tre direzioni canoniche: $$ v \times w = (v_1\hat{i} + v_2\hat{j} + v_3\hat{k}) \times (w_1\hat{i} + w_2\hat{j} + w_3\hat{k}) $$ $$ v \times w = (v_1\hat{i} + v_2\hat{j} + v_3\hat{k}) \times (w_1\hat{i} + w_2\hat{j} + w_3\hat{k}) $$ $$ v \times w $$ $$ \downarrow $$ $$ \small (v_1\hat{i} + v_2\hat{j} + v_3\hat{k}) \times (w_1\hat{i} + w_2\hat{j} + w_3\hat{k}) $$ Vi anticipo che per il prodotto vettoriale vale la proprietà distributiva, perciò possiamo moltiplicare(vettorialmente), ogni elemento del primo vettore per ogni elemento del secondo vettore. In virtù di quanto detto per i prodotti elementari scriviamo: $$v_1\hat{i}\times(w_1\hat{i} + w_2\hat{j} + w_3\hat{k}) + v_2\hat{j}\times(w_1\hat{i} + w_2\hat{j} + w_3\hat{k}) + v_3\hat{k}\times(w_1\hat{i} + w_2\hat{j} + w_3\hat{k}) = $$ $$ = \begin{align} v_1\hat{i}\times w_1\hat{i} + v_1\hat{i}\times w_2\hat{j} + v_1\hat{i}\times w_3\hat{k} \hspace{2mm} + \\ v_2\hat{j}\times w_1\hat{i} + v_2\hat{j}\times w_2\hat{j} + v_2\hat{j}\times w_3\hat{k} \hspace{2mm} + \\ v_3\hat{k}\times w_1\hat{i} + v_3\hat{k}\times w_2\hat{j} + v_3\hat{k}\times w_3\hat{k} \hspace{2mm} = \\ \end{align} $$ $$v_1\hat{i}\times(w_1\hat{i} + w_2\hat{j} + w_3\hat{k}) + v_2\hat{j}\times(w_1\hat{i} + w_2\hat{j} + w_3\hat{k}) + v_3\hat{k}\times(w_1\hat{i} + w_2\hat{j} + w_3\hat{k}) = $$ $$ = \begin{align} v_1\hat{i}\times w_1\hat{i} + v_1\hat{i}\times w_2\hat{j} + v_1\hat{i}\times w_3\hat{k} \hspace{2mm} + \\ v_2\hat{j}\times w_1\hat{i} + v_2\hat{j}\times w_2\hat{j} + v_2\hat{j}\times w_3\hat{k} \hspace{2mm} + \\ v_3\hat{k}\times w_1\hat{i} + v_3\hat{k}\times w_2\hat{j} + v_3\hat{k}\times w_3\hat{k} \hspace{2mm} = \\ \end{align} $$ $$ v_1\hat{i}\times(w_1\hat{i} + w_2\hat{j} + w_3\hat{k}) + \\ + v_2\hat{j}\times(w_1\hat{i} + w_2\hat{j} + w_3\hat{k}) + \\ + v_3\hat{k}\times(w_1\hat{i} + w_2\hat{j} + w_3\hat{k}) $$ $$ \downarrow $$ $$ \small \begin{align} v_1\hat{i}\times w_1\hat{i} + v_1\hat{i}\times w_2\hat{j} + v_1\hat{i}\times w_3\hat{k} \hspace{2mm} + \\ v_2\hat{j}\times w_1\hat{i} + v_2\hat{j}\times w_2\hat{j} + v_2\hat{j}\times w_3\hat{k} \hspace{2mm} + \\ v_3\hat{k}\times w_1\hat{i} + v_3\hat{k}\times w_2\hat{j} + v_3\hat{k}\times w_3\hat{k} \hspace{2mm} = \\ \end{align} $$ I prodotti vettoriali ottenuti si riferiscono ai versori fondamentali, pertanto, possiamo moltiplicare i coefficienti indipendentemente dai prodotti vettoriali: $$ = \begin{align} v_1w_1(\hat{i}\times \hat{i}) + v_1w_2(\hat{i}\times \hat{j}) + v_1w_3(\hat{i}\times \hat{k}) \hspace{2mm} + \\ v_2w_1(\hat{j}\times \hat{i}) + v_2w_2(\hat{j}\times \hat{j}) + v_2w_3(\hat{j}\times \hat{k}) \hspace{2mm} + \\ v_3w_1(\hat{k}\times \hat{i}) + v_3w_2(\hat{k}\times \hat{j}) + v_3w_3(\hat{k}\times \hat{k}) \hspace{2mm} = \\ \end{align} $$ $$ = \begin{align} v_1w_1(\hat{i}\times \hat{i}) + v_1w_2(\hat{i}\times \hat{j}) + v_1w_3(\hat{i}\times \hat{k}) \hspace{2mm} + \\ v_2w_1(\hat{j}\times \hat{i}) + v_2w_2(\hat{j}\times \hat{j}) + v_2w_3(\hat{j}\times \hat{k}) \hspace{2mm} + \\ v_3w_1(\hat{k}\times \hat{i}) + v_3w_2(\hat{k}\times \hat{j}) + v_3w_3(\hat{k}\times \hat{k}) \hspace{2mm} = \\ \end{align} $$ $$ \small = \begin{align} v_1w_1(\hat{i}\times \hat{i}) + v_1w_2(\hat{i}\times \hat{j}) + v_1w_3(\hat{i}\times \hat{k}) \hspace{2mm} + \\ v_2w_1(\hat{j}\times \hat{i}) + v_2w_2(\hat{j}\times \hat{j}) + v_2w_3(\hat{j}\times \hat{k}) \hspace{2mm} + \\ v_3w_1(\hat{k}\times \hat{i}) + v_3w_2(\hat{k}\times \hat{j}) + v_3w_3(\hat{k}\times \hat{k}) \hspace{2mm} = \\ \end{align} $$ A questo punto usando le relazioni elementari otteniamo: $$ \require{cancel} = \begin{align} \bcancel{v_1w_1(0)} + v_1w_2(\hat{k}) + v_1w_3(-\hat{j}) \hspace{2mm} + \\ v_2w_1(-\hat{k}) + \bcancel{v_2w_2(0)} + v_2w_3(\hat{i}) \hspace{2mm} + \\ v_3w_1(\hat{j}) + v_3w_2(-\hat{i}) + \bcancel{v_3w_3(0)} \hspace{2mm} + \\ \end{align} $$ Riordinando i termini, otteniamo le componenti del prodotto vettoriale: $$ \underset{(v\times w)_x}{\underbrace{(v_2w_3- v_3w_2)}}\hat{i} + \underset{(v\times w)_y}{\underbrace{(v_3w_1-v_1w_3)}}\hat{j} + \underset{(v\times w)_z}{\underbrace{(v_1w_2 - v_2w_1)}}\hat{k} $$ $$ \underset{(v\times w)_x}{\underbrace{(v_2w_3- v_3w_2)}}\hat{i} + \underset{(v\times w)_y}{\underbrace{(v_3w_1-v_1w_3)}}\hat{j} + \underset{(v\times w)_z}{\underbrace{(v_1w_2 - v_2w_1)}}\hat{k} $$ $$ \underset{(v\times w)_x}{\underbrace{(v_2w_3- v_3w_2)}}\hat{i} + \underset{(v\times w)_y}{\underbrace{(v_3w_1-v_1w_3)}}\hat{j} + $$ $$ + \underset{(v\times w)_z}{\underbrace{(v_1w_2 - v_2w_1)}}\hat{k} $$
$$ \diamond $$
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