Determinante simbolico

Il procedimento che ci ha portati alla determinazione delle componenti del prodotto vettore, come vi sarete sicuramente accorti, risulta alquanto dispendioso. Potreste provare ad imparare a memoria le espressioni delle componenti, ma prima di provarci, vi propongo un metodo intelligente del « determinante simbolico ». Per chi conosce i determinanti, in particolare lo sviluppo dei determinanti per righe, il metodo prevede che voi sviluppiate questo particolare determinante lungo la prima riga.

$$ \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ v_1 & v_2 & v_3 \\ w_1 & w_2 & w_3 \end{vmatrix}$$

Magicamente, si otterranno le espressioni per le componenti bypassando i calcoli svolti in precedenza

Attenzione, all'antisimmetria del prodotto vettoriale! \( v \times w = - w\times v \) Quando scrivete il determinante simbolico, l'ordine delle ultime due righe (non della prima, la quale deve trovarsi sempre in alto) è correlato all'antisimmetria. Mi spiego meglio. Scambiare le righe in un determinante, corrisponde ad invertire il segno del determinante stesso, in questo caso del prodotto vettoriale.

$$ v\times w =\begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ v_1 & v_2 & v_3 \\ w_1 & w_2 & w_3 \end{vmatrix} $$
$$ w\times v =\begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ w_1 & w_2 & w_3 \\ v_1 & v_2 & v_3 \end{vmatrix} $$
Vediamo ora come si sviluppa il determinante (consideriamo il prodotto \( v\times w\), l'altro caso è lasciato come esercizio): $$ \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ v_1 & v_2 & v_3 \\ w_1 & w_2 & w_3 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} v_2 & v_3 \\ w_2 & w_3 \end{vmatrix}\hat{i} + \begin{vmatrix} v_3 & v_1 \\ w_3 & w_1 \end{vmatrix}\hat{j} + \begin{vmatrix} v_1 & v_2 \\ w_1 & w_2 \end{vmatrix}\hat{k} $$ $$ \downarrow $$ $$ (v_2w_3- v_3w_2)\hat{i} + (v_3w_1-v_1w_3)\hat{j} + (v_1w_2 - v_2w_1)\hat{k} $$ $$ \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ v_1 & v_2 & v_3 \\ w_1 & w_2 & w_3 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} v_2 & v_3 \\ w_2 & w_3 \end{vmatrix}\hat{i} + \begin{vmatrix} v_3 & v_1 \\ w_3 & w_1 \end{vmatrix}\hat{j} + \begin{vmatrix} v_1 & v_2 \\ w_1 & w_2 \end{vmatrix}\hat{k} $$ $$ \downarrow $$ $$ (v_2w_3- v_3w_2)\hat{i} + (v_3w_1-v_1w_3)\hat{j} + (v_1w_2 - v_2w_1)\hat{k} $$ $$ \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ v_1 & v_2 & v_3 \\ w_1 & w_2 & w_3 \end{vmatrix} $$ $$ \downarrow $$ $$ \small \begin{vmatrix} v_2 & v_3 \\ w_2 & w_3 \end{vmatrix}\hat{i} + \begin{vmatrix} v_3 & v_1 \\ w_3 & w_1 \end{vmatrix}\hat{j} + \begin{vmatrix} v_1 & v_2 \\ w_1 & w_2 \end{vmatrix}\hat{k} $$ $$ \downarrow $$ $$ (v_2w_3- v_3w_2)\hat{i} + (v_3w_1-v_1w_3)\hat{j} + $$ $$ + (v_1w_2 - v_2w_1)\hat{k} $$ Per maggiori approfondimenti sui determinanti potete studiarvi la relativa sezione dedicata in questo corso
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