Disequazioni algebriche

Una disequazione è una disuguaglianza tra due termini. Si presenta come una equazione solo che al posto del simbolo di uguale possiamo trovare sostanzialmente quattro simboli:
Maggiore >;
Minore < ;
Maggiore o uguale \(\geq\);
Minore o uguale \(\leq\) .
Una disequazione, a differenza delle equazioni, è verificata per un certo intervallo di valori.
Valgono i principi di equivalenza che abbiamo visto per le equazioni, con una proprietà molto importante che è la seguente
Proprietà del cambiamento di verso
Quando moltiplichiamo o dividiamo una disequazione per un numero negativo il verso della disequazione cambia. Se era di maggiore diventa minore e viceversa. Tenete bene a mente questa proprietà perchè è fondamentale per non incorrere in errori banali.

$$ \diamond\diamond\diamond $$
Disequazioni di primo grado

Una disequazione di primo grado è una disequazione dove l'incognita compare con grado massimo pari ad uno. Ad esempio $$ x-1>0 $$ Per risolvere una disequazione di primo grado è sufficiente utilizzare gli stessi metodi che abbiamo visto per le equazioni di primo grado.
Risolvere la seguente disequazione di primo grado
$$ 2x-1>0 $$ Utilizzando il primo principio è possibile spostare il \(-1\) a destra, cambiandolo di segno $$ 2x>+1 $$ Utilizzando il secondo principio è possibile dividere tutto per \(2\) $$ x>\frac{1}{2} $$ Il valore della x, per essere valido, deve appartenere al seguente intervallo di soluzione $$ x\in \left(\frac{1}{2},+\infty\right) $$ Per verificare se la soluzione è corretta vi basterà sostituire alla \(x\) un qualsiasi valore maggiore di \(\frac{1}{2}\). Se facendo tali prove si incorre in una contraddizione della disuguaglianza, allora la soluzione non è corretta.
Risolvere la seguente disequazione di primo grado
$$ -x+2\leq 1 $$ Utilizzando il primo principio è possibile spostare il \(+1\) a destra, cambiandolo di segno $$ -x\leq -1 $$ Utilizzando il secondo principio è possibile moltiplicare tutto per \(-1\), in modo da rendere positiva la x al primo membro $$ x\geq 1 $$ Attenzione perchè il verso della disequazione è cambiato, in quanto abbiamo moltiplicato per una quantità negativa. Il valore della x, per essere valido, deve appartenere al seguente intervallo di soluzione $$ x\in [1,+\infty) $$ Attenzione perchè il valore \(1\) è compreso nell'intervallo di soluzione, dunque si utilizza la parentesi quadra a sinistra di \(1\).

$$ \diamond\diamond\diamond $$
Disequazioni di secondo grado

Una disequazione di secondo grado è una disequazione dove l'incognita compare con grado massimo pari a due. Questo tipo di disequazioni si possono presentare sotto varie forme, quella completa è la seguente $$ ax^2+bx+c\gtreqless 0 $$Per comodità considereremo il caso in cui \(a>0\). Se è negativo basterà moltiplicare tutto per \(-1\) e cambiare verso alla disequazione.
Per risolvere questo tipo di disequazioni bisogna analizzare il verso della disequazione e calcolare il \(\Delta\) della equazione di secondo grado associata alla disequazione di partenza. Si possono verificare tre casi:

CASO 1.1 \(\rightarrow\) \(ax^2+bx+c> 0\) & \(\Delta>0\):
L'equazione ha verso di maggiore e il \(\Delta\) è positivo. In questo caso si procede con il calcolo delle soluzioni della equazione associata e la disequazione è verificata per valori esterni, cioè

Sotto forma di intervalli possiamo scrivere, supponendo \(x_1<{x_2}\) $$ x\in (-\infty,x_1)\cup (x_2,+\infty) $$
Risolvere la seguente disequazione di secondo grado
$$ x^2+5x+6>0 $$ Calcoliamo il determinante dell'equazione associata \(x^2+5x+6=0\) $$ \Delta=b^2-4ac $$ $$ \downarrow $$ $$ \Delta=25-24=1 $$ $$ \downarrow $$ $$ \Delta=25-24=1 $$ $$ \downarrow $$ $$ x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} $$ $$ \downarrow $$ $$ x_{1,2}=\frac{-5\pm \sqrt 1}{2} $$ $$ \downarrow $$ $$ x_{1}=\frac{-5+1}{2}=-2 $$ $$ x_{2}=\frac{-5-1}{2}=-3 $$ Visto che il verso è di maggiore e il \(\Delta\) è positivo, la disequazione è verificata per valori esterni, cioè

$$ x\in (-\infty,-3)\cup(-2,+\infty) $$


CASO 1.2 \(\rightarrow\) \(ax^2+bx+c< 0\) & \(\Delta>0\)
L'equazione ha verso di minore e il \(\Delta\) è positivo. In questo caso si procede con il calcolo delle soluzioni della equazione associata e la disequazione è verificata per valori interni, cioè

Sotto forma di intervalli possiamo scrivere, supponendo \(x_1<{x_2}\) $$ x\in (x_1,x_2) $$
Risolvere la seguente disequazione di secondo grado
$$ x^2+5x+6\leq 0 $$ Il determinante e le soluzioni della equazione associata li abbiamo trovati nell'esempio precedente, dunque $$ x_{1}=\frac{-5+1}{2}=-2 $$ $$ x_{2}=\frac{-5-1}{2}=-3 $$ Visto che il verso è di minore e il \(\Delta\) è positivo, la disequazione è verificata per valori interni inclusi gli estremi perchè c'è anche il segno di uguale, cioè

$$ x\in [-3,-2] $$


CASO 2.1 \(\rightarrow\) \(ax^2+bx+c> 0\) & \(\Delta=0\)
L'equazione ha verso di maggiore e il \(\Delta\) è nullo. In questo caso si tratta di quadrato di binomio, si procede con il calcolo della soluzione della equazione associata e la disequazione è verificata per tutti i valori di \(\mathbb{R}\)jpg tranne il valore della soluzione dell'equazione, cioè

Sotto forma di intervalli possiamo scrivere, visto che \(x_1=x_2\) $$ x\in \mathbb{R}\setminus\{x_1\} $$
Risolvere la seguente disequazione di secondo grado
$$ -x^2+4x-4<{0} $$ Per prima cosa conviene cambiare tutto di segno in modo da avere il coefficiente \(a\) positivo, invertendo anche il verso della disequazione $$ x^2-4x+4>{0} $$ Calcoliamo il determinante e le due soluzioni dell'equazione associata $$ \Delta=16-16=0 $$ $$ x_{1}=x_{2}=\frac{4+0}{2}=2 $$ Visto che il verso è di maggiore e il \(\Delta\) è nullo, la disequazione è verificata per valori di \(\mathbb{R}\) escluso il \(2\) perchè è la radice dell'equazione, cioè

$$ x\in \mathbb{R}\setminus\{2\} $$


CASO 2.2 \(\rightarrow\) \(ax^2+bx+c< 0\) & \(\Delta=0\)
L'equazione ha verso di minore e il \(\Delta\) è nullo. In questo caso si tratta di quadrato di binomio, dunque non può mai essere negativo, Non abbiamo alcun intervallo di soluzione , cioè
Risolvere la seguente disequazione di secondo grado
$$ x^2-4x+4\leq{0} $$ Abbiamo già visto prima che si tratta di un quadrato di binomio, dunque visto che il \(\Delta\) è nullo e il verso è di minore o uguale, in teoria non dovrebbe avere alcuna soluzione, in quanto un quadrato non può essere mai negativo. Il problema è che in questo caso esiste anche il segno di uguale, dunque in realtà esiste una soluzione di questa disequazione che coincide con il valore che annulla il polinomio associato all'equazione, cioè

In termini di intervallo la soluzione è dunque $$ x=2 $$


CASO 3.1 \(\rightarrow\) \(ax^2+bx+c> 0\) & \(\Delta<{0}\)
L'equazione ha verso di maggiore e il \(\Delta\) è negativo. In questo caso non dobbiamo calcolare alcuna soluzione dell'equazione associata. In particolare la disequazione è verificata per tutti i valori di \( \mathbb{R} \).
Sotto forma di intervalli possiamo scrivere $$ x\in \mathbb{R} $$
Risolvere la seguente disequazione di secondo grado
$$ x^2+2x+2>{0} $$ Il determinante è negativo. Visto che il segno è di maggiore la disequazione è vericata in tutto \(\mathbb{R}\) $$ x\in \mathbb{R} $$


CASO 3.2 \(\rightarrow\) \(ax^2+bx+c< 0\) & \(\Delta<{0}\)
L'equazione ha verso di minore e il \(\Delta\) è negativo. In questo caso non dobbiamo calcolare alcuna soluzione dell'equazione associata. In particolare la disequazione non è mai verificata.
Risolvere la seguente disequazione di secondo grado
$$ x^2+2x+2\leq{0} $$ Il determinante è negativo. Visto che il segno è di minore o uguale la disequazione non ha alcuna soluzione. Anche se è presente il segno di uguale, ricordiamo che non esiste una soluzione in \(\mathbb{R}\).

$$ \diamond\diamond\diamond $$ $$ \diamond $$
BACK HOME NEXT
YouSciences

Copyright©2018 YouSciences | All rights Reserved
written by Loris Fato designed by Giuseppe Sottile


Supportaci con una donazione