Equazioni algebriche

In matematica esistono due tipi di uguaglianza:
Identità: rappresenta una uguaglianza dove a sinistra abbiamo un qualcosa che coincide con quello che sta a destra del segno di uguaglianza. Ad esempio $$ 2x+x=3x $$ Equazione: rappresenta una uguaglianza dove bisogna calcolare il valore dell'incognita. A differenza dell'identità, l'equazione non si verifica sempre, dipende infatti dal valore che diamo all'incognita. Ad esempio $$ 2x+x=1 $$ $$ \diamond\diamond\diamond $$
Principi di equivalenza

Il primo principio di equivalenza ci dice che all'interno di una equazione è possibile aggiungere o sottrarre una stessa quantità a destra e a sinistra del segno di uguale.
Il secondo principio di equivalenza ci dice che all'interno di una equazione è possibile moltiplicare o dividere una stessa quantità a destra e a sinistra del segno di uguale. Attenzione però perchè questa quantità deve necessariamente essere diversa da zero. $$ \diamond\diamond\diamond $$
Equazioni di primo grado

Una equazione di primo grado è una equazione dove l'incognita compare con grado massimo pari ad uno. Ad esempio $$ x-1=0 $$ E' di primo grado perchè l'incognita \(x\) è con grado uno. Per risolvere una equazione di primo grado è sufficiente isolare l'incognita, cioè utilizzando i principi di equivalenza visti prima, è possibile spostare tutti i termini senza l'incognita da una parte, ad esempio a destra, e i termini noti, cioè i termini senza l'incognita, dall'altra parte.
Una volta fatto questo con una serie di passaggi algebrici siamo in grado ricavare il valore della \(x\).
Risolvere la seguente equazione di primo grado
$$ 2x-1=0 $$ Utilizzando il primo principio è possibile spostare il \(-1\) a destra, cambiandolo di segno $$ 2x=+1 $$ Utilizzando il secondo principio è possibile dividere tutto per \(2\) $$ x=\frac{1}{2} $$ La soluzione è proprio \(\frac{1}{2}\), infatti sostituendo tale valore all'equazione otteniamo una identità.
Risolvere la seguente equazione di primo grado
$$ 3x-1=2 $$ $$ \downarrow $$ $$ 3x=2+1 $$ $$ \downarrow $$ $$ 3x=3 $$ $$ \downarrow $$ $$ x=\frac{3}{3}=1 $$

$$ \diamond\diamond\diamond $$
Equazioni di secondo grado

Una equazione di secondo grado è una equazione dove l'incognita compare con grado massimo pari a due. Questo tipo di equazioni si possono presentare sotto varie forme, quella completa è la seguente $$ ax^2+bx+c=0 $$ Dove \(a\),\(b\) e \(c\) sono numeri reali e in particolare \(c\) è diverso da zero, altrimenti non ci riferiamo più ad una equazione di secondo grado. Per risolvere questo tipo di equazioni è sufficiente applicare la formula risolutiva delle equazioni di secondo grado $$ x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} $$ Dove \(b^2-4ac\) rappresenta il determinante o spesso chiamato anche discriminanteindicato con il simbolo \(\Delta\). Il ruolo del \(\Delta\) è fondamentale, in quanto in base al valore possiamo distinguere tre casi:
\(\Delta>0\) : quando il valore del \(\Delta\) è positivo l'equazione ammette due soluzioni reali distinte;
\(\Delta=0\) : quando il valore del \(\Delta\) è nullo l'equazione ammette due soluzioni reali coincidenti, cioè una sola soluzione con molteplicità pari a due;
\(\Delta<{0}\) : quando il valore del \(\Delta\) è negativo l'equazione ammette due soluzioni complesse e coniugate , dunque non è possibile trovare soluzioni nei numeri reali.
Risolvere la seguente equazione di secondo grado
$$ x^2+5x+6=0 $$ Calcoliamo il determinante $$ \Delta=b^2-4ac $$ $$ \downarrow $$ $$ \Delta=25-24=1 $$ Il \( \Delta\) è venuto positivo, dunque troveremo due soluzioni reali e distinte. In particolare $$ x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} $$ $$ \downarrow $$ $$ x_{1,2}=\frac{-5\pm \sqrt 1}{2} $$ $$ \downarrow $$ $$ x_{1}=\frac{-5+1}{2}=-2 $$ $$ x_{2}=\frac{-5-1}{2}=-3 $$
Risolvere la seguente equazione di secondo grado
$$ x^2-4x+4=0 $$ Calcoliamo il determinante $$ \Delta=b^2-4ac $$ $$ \downarrow $$ $$ \Delta=16-16=0 $$ Il \(\Delta\) è venuto nullo, dunque troveremo due soluzioni reali e coincidenti. In particolare $$ x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} $$ $$ \downarrow $$ $$ x_{1,2}=\frac{4\pm \sqrt 0}{2} $$ $$ \downarrow $$ $$ x_{1}=x_{2}=\frac{4}{2}=2 $$
Risolvere la seguente equazione di secondo grado
$$ x^2+2x+2=0 $$ Calcoliamo il determinante $$ \Delta=b^2-4ac $$ $$ \downarrow $$ $$ \Delta=4-8=-4 $$ Il \( \Delta\) è venuto negativo, dunque troveremo due soluzioni complesse e coniugate. In sostanza ci possiamo tranquillamente fermare, in quanto in genere si cercano soluzioni reali.

$$ \diamond\diamond\diamond $$ $$ \diamond $$
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