Definizione di funzione tra insiemi

Dati due insiemi \(A\) e \(B\), si definisce funzione tra A e B una legge matematica che associa ad ogni elemento di \(A\) uno ed uno solo elemento di \(B\).
Matematicamente $$ f:A\rightarrow B $$ $$ \forall a\in A\implies f(a)\in B $$ La seconda "dicitura matematica" ci sta dicendo che ad ogni elemento che sta nel primo insieme \(A\) è associato un elemento chiamato \(f(a)\) che sta in \(B\), ed esso rappresenta il corrispondente di \(a\) in base alla funzione che stiamo applicando all'elemento stesso.
Il primo insieme, in questo caso \(A\), prende il nome di dominio, mentre il secondo insieme prende il nome di codominio.

Esempi di funzione

Vediamo adesso un paio di esempi per capire meglio il concetto di funzione
Esempio 1
Supponiamo di avere questi due insiemi $$ U=\{uomini\} $$ $$ D=\{date di nascita\} $$ $$ f:U\rightarrow D $$ La legge è la seguente: Ad ogni uomo associo una data di nascita. In questo caso rappresenta una funzione valida perchè per ogni uomo esiste sempre una sola data di nascita.
Esempio 2
Supponiamo di avere questi due insiemi $$ U=\{uomini\} $$ $$ D=\{date di nascita\} $$ $$ f:D\rightarrow U $$ Questa volta abbiamo invertito il dominio con il codominio e la legge è la seguente: Ad ogni data di nascita associo un uomo. In questo caso non rappresenta una funzione valida perchè ad una data di nascita possono corrispondere più di un uomo, in quanto è tranquillamente possibile trovare due uomini nati nello stesso giorno mese ed anno.
Esempio 3
Supponiamo di avere questi due insiemi $$ M=\{madri\} $$ $$ E=\{esseri umani\} $$ $$ f:M\rightarrow E $$ La legge è la seguente: Ad ogni madre associo il proprio figlio. In questo caso non rappresenta una funzione valida perchè ad ogni madre possono corrispondere più figli.
Questi esempi ci fanno capire che per definire una funzione valida bisogna sempre valutare con attenzione alcune cose!!
Funzioni reali di variabile reale

Queste sono funzioni nel quale il dominio e il codominio sono insiemi di numeri reali, una legge che agisce sui numeri reali e li trasforma in altri numeri reali $$ f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} $$ Consideriamo la seguente legge $$ f(x)=2x $$ Ad ogni elemento reale x ne associa il suo doppio. Questa è una funzione valida perchè qualsiasi x reale abbiamo il suo doppio risiede sempre nel campo dei numeri reali.
Consideriamo adesso la seguente legge $$ f(x)=\frac{1}{x} $$ Ad ogni valore reale x ne associa il suo inverso. In questo caso non è una funzione valida perchè non è vero che ad ogni valore reale ne corrisponde uno reale , infatti se ad x gli diamo il valore zero non esiste il suo inverso nel campo dei reali.
Per rendere questa legge una funzione valida bisogna restringere il dominio ad un sottoinsieme di \(\mathbb{R}\). Bisogna togliere dai numeri reali lo zero, dunque $$ \mathbb{R}'=\mathbb{R}\setminus\{0\} $$ La funzione dunque sarà $$ f:\mathbb{R}'\rightarrow\mathbb{R} $$ In generale dunque una funzione reale di variabile reale si presenta come definita sul dominio \(\mathbb{R}\) o su un suo sottoinsieme. E' di fondamentale importanza dunque calcolare sempre il dominio o campo di esistenza della funzione, cioè dove essa è effettivamente definita.
Esempi dominio funzioni reali

Vediamo adesso qualche esempio di calcolo del dominio di qualche funzione reale
Esempio 1
Calcoliamo il dominio della seguente funzione $$ \frac{1}{x+2} $$ Questa è una funzione fratta e come tale il denominatore deve necessariamente essere diverso da zero, dunque $$ x+2\neq 0\rightarrow x\neq -2 $$ Il dominio della funzione è dunque $$ D:\mathbb{R}\setminus\{-2\} $$ In termini di intervallo abbiamo $$ D: x<-2\cup x>-2 $$
Esempio 2
Calcoliamo il dominio della seguente funzione $$ \frac{\sqrt{x-1}}{x+2} $$ Questa è una funzione fratta e al denominatore abbiamo una radice quadrata che come sappiamo deve avere come argomento un qualcosa di non negativo. In questo caso dobbiamo imporre due condizioni, dunque abbiamo un sistema $$ \left\{\begin{matrix} x-1\geq 0 \rightarrow x\geq 1\\ x+2\neq 0\rightarrow x\neq -2 \end{matrix}\right. $$ Rappresentiamo graficamente le due soluzioni che devono essere verificate entrambe

Si vede palesemente che la soluzione si trova nel terzo intervallo, dunque $$ D: x\geq 1 $$
$$ \diamond\diamond\diamond $$ $$ \diamond $$
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