Numeri razionali \(\mathbb{Q}\)

L'insieme dei numeri razionali è l'insieme formato dagli elementi $$ \mathbb{Q}=\left\{\frac{m}{n}: m\in\mathbb{Z},n\in\mathbb{Z}\hspace{2mm}e\hspace{2mm}n\neq 0\right\} $$ $$ \mathbb{Q}=\left\{\frac{m}{n}: m\in\mathbb{Z},n\in\mathbb{Z}\hspace{2mm}e\hspace{2mm}n\neq 0\right\} $$ $$ \mathbb{Q}=\left\{\frac{m}{n}: m\in\mathbb{Z},n\in\mathbb{Z}\hspace{2mm}e\hspace{2mm}n\neq 0\right\} $$ Gli elementi di questo insieme sono dei numeri ottenibili come rapporto/quoziente tra due numeri interi relativi, una frazione \(\frac{m}{n}\) dove \(m\) rappresenta il numeratore ed \(n\) il denominatore che deve necessariamente essere diverso da zero.
Date due frazioni \(\frac{m_1}{n_1}\) e \(\frac{m_2}{n_2}\),esse si dicono uguali quando il prodotto incrociato è uguale cioè $$ m_1\cdot n_2=m_2\cdot n_1 $$ Ad esempio $$ \frac{10}{15}=\frac{2}{3}\Rightarrow 10\cdot 3=15\cdot 2 \hspace{2mm}OK! $$ Consideriamo un numero razionale \(\frac{a}{b}\) diverso da 0. Esiste in \(\mathbb{Q}\) un numero razionale \(\frac{b}{a}\) detto inverso di \(\frac{a}{b}\). Tale numero gode della seguente proprietà $$ \frac{a}{b}\cdot \frac{b}{a}=1 $$ Il prodotto tra un numero e il suo inverso fornisce come risultato sempre 1. $$ \diamond\diamond\diamond $$
Operazione di somma, prodotto e quoziente

Supponiamo di avere due frazioni \(\frac{a}{b}\) e \(\frac{c}{d}\). L'operazione di somma si svolge nel seguente modo $$ \frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{a\cdot d+b\cdot c}{b\cdot d} $$ In realtà per evitare semplificazioni successive conviene al denominatore inserire il mcm tra \(b\) e \(d\), altrimenti vi ritroverete con una frazione non ridotta ai minimi termini.
L'operazione di prodotto si svolge nel seguente modo $$ \frac{a}{b}\cdot \frac{c}{d}=\frac{a\cdot c}{b\cdot d} $$ Nella nuova frazione avrete come numeratore il prodotto dei numeratori e come denominatore il prodotto dei denominatori.
L'operazione di quoziente si svolge nel seguente modo $$ \frac{a}{b}: \frac{c}{d}=\frac{a}{b}\cdot \frac{d}{c} $$ Basterà trasformare il quoziente in un prodotto. Prima frazione immutata moltiplicata per l'inverso della seconda frazione.
Calcoliamo somma, prodotto e quoziente di \(\frac{3}{4}\) e \(\frac{5}{2}\)
$$ \frac{3}{4}+\frac{5}{2}=\frac{13}{mcm=4}=\frac{13}{4} $$ $$ \frac{3}{4}\cdot\frac{5}{2}=\frac{15}{8} $$ $$ \frac{3}{4}:\frac{5}{2}=\frac{3}{4}\cdot\frac{2}{5}=\frac{6}{20} $$

$$ \diamond\diamond\diamond $$
Dalla frazione alla forma decimale

Dalla frazione è possibile ricondursi alla forma decimale utilizzando la divisione tabellare che si studia nelle scuole. Vediamo adesso tre esempi
Trasformare le seguenti frazioni in forma decimale


$$ \diamond\diamond\diamond $$
Dalla forma decimale alla frazione

Caso 1: Forma decimale senza cifre periodiche
Bisogna scrivere il segno di frazione e al numeratore inseriamo il numero con tutte le cifre, senza considerare la virgola. Al denominatore un 1 seguito da tanti zeri quante sono le cifre dopo la virgola
Convertire in frazione 95,125
Al numeratore inseriamo 95125 e al denominatore 1 seguito da tre zeri $$ 95,125=\frac{95125}{1000} $$

Caso 2: Forma decimale con prima cifra periodica dopo la virgola
Bisogna scrivere il segno di frazione e al numeratore inseriamo la differenza tra il numero con tutte le cifre senza considerare la virgola e l'antiperiodo cioè la parte che precede il periodo. Al denominatore tanti 9 quante sono le cifre periodiche
Convertire in frazione \(82,\overline{8}\)
Al numeratore inseriamo \(828-82=746\) e al denominatore un solo 9 in quanto abbiamo una sola cifra periodica $$ 82,\overline{8}=\frac{746}{9} $$

Caso 3: Forma decimale con seconda cifra periodica dopo la virgola
Bisogna scrivere il segno di frazione e al numeratore inseriamo la differenza tra il numero con tutte le cifre senza considerare la virgola e l'antiperiodo cioè la parte che precede il periodo. Al denominatore 9 seguito da tanti zeri quante sono le cifre non periodiche dopo la virgola
Convertire in frazione \(24,11\overline{8}\)
Al numeratore inseriamo \(24118-2411=21707\) e al denominatore un 9 seguito da due zeri perchè abbiamo due cifre dopo la virgola non periodiche, cioè 11 $$ 24,11\overline{8}=\frac{21707}{900} $$


I numeri razionali non bastano!

Numeri reali \(\mathbb{R}\)

Consideriamo un quadrato di lato 1. Vogliamo calcolare la sua diagonale che chiameremo \(x\), come mostrato in figura

La diagonale insieme ai due lati formano un triangolo rettangolo, dunque si può utilizzare il teorema di Pitagora, cioè $$ x^2=1^2+1^2 $$ $$ x^2=2 $$ Vogliamo trovare un numero razionale che elevato a quadrato dia come risultato 2. Un numero razionale può essere sempre scritto sotto forma di frazione, dunque $$ x=\frac{m}{n} $$ $$ \downarrow $$ $$ x^2=\frac{m^2}{n^2}=2 $$ $$ \downarrow $$ $$ m^2=2n^2 $$ Sia \(m^2\) sia \(n^2\) possono essere scomposti in fattori primi, come già abbiamo visto. Il fattore 2, se esiste, in \(m^2\) ha per forza esponente pari, in quanto è presente un quadrato. Stesso discorso vale per \(n^2\). Dunque a sinistra abbiamo un 2 con esponente pari mentre a destra un 2 con esponente dispari, in quanto \(n^2\) è moltiplicato per un 2 con esponente dispari.
E se il fattore 2 non esiste in \(m^2\) e in \(n^2\)? Il discorso vale lo stesso, in quanto il 2 è presente con esponente 0, a sinistra abbiamo esponente 0 e a destra esponente 1. Possiamo dunque concludere che non esiste una frazione che elevata al quadrato dia come risultato 2.
Entrano dunque in scena i numeri reali che possono essere di due tipi: Numeri reali razionali: sono numeri reali che in realtà possono essere tranquillamente chiamati numeri razionali; Numeri reali non razionali: sono numeri reali che non possono essere scritti come frazioni. Un numero reale è costituito da una parte intera, una virgola e una parte decimale che può essere finita, infinita ma periodica e infinita non periodica.
Per concludere possiamo rappresentare gli insiemi numerici visti fino ad adesso utilizzando la teoria degli insiemi

$$ \diamond\diamond\diamond $$ $$ \diamond $$
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