Polinomi

Un polinomio è una espressione matematica dove abbiamo la somma algebrica di più monomi. Un monomio di per se rappresenta un polinomio che contiene un solo termine. State bene attenti perchè se nell'espressione è presente almeno un termine che non rappresenta un moniomio allora non si può parlare di polinomio.
Vediamo alcuni esempi
$$ 2x^2 $$ rappresenta un polinomio perchè costituito da un solo monomio.
$$ x^2+3x+2 $$ rappresenta un polinomio in quanto abbiamo la somma algebrica di tre monomi.
$$ x^2+\sqrt{x} $$ non rappresenta un polinomio perche \(\sqrt{x}\) non è un monomio.

$$ \diamond\diamond\diamond $$
Somma e differenza tra polinomi

La somma algebrica tra due polinomi ci restituisce un nuovo polinomio. Per svolgere tale operazione basterà semplicemente sommare algebricamente tutti i monomi che sono simili (stessa parte letterale) all'interno del polinomio.
Supponiamo di voler effettuare la seguente somma
$$ (2x^2+xy-z^2)+(x^2-y^2) $$ Il risultato sarà $$ 2x^2+x^2+xy-z^2-y^2=3x^2+xy-z^2-y^2 $$ $$ 2x^2+x^2+xy-z^2-y^2=3x^2+xy-z^2-y^2 $$ $$ 2x^2+x^2+xy-z^2-y^2= $$ $$=3x^2+xy-z^2-y^2 $$ In questo caso gli unici monomi simili sono \(2x^2\) e \(x^2\) , il resto viene copiato così com'è, sempre rispettando dei segni di partenza.
Supponiamo di voler effettuare la seguente differenza
$$ (a^2+2ab-c)-(3ab-2c) $$ Il risultato sarà $$ a^2+(2ab-3ab)+(-c-(-2c))=a^2-ab+c $$ $$ a^2+(2ab-3ab)+(-c-(-2c))=a^2-ab+c $$ $$ a^2+(2ab-3ab)+(-c-(-2c))= $$ $$ =a^2-ab+c $$ In questo caso gli unici monomi simili sono \(2ab\) e \(3ab\), \(-c\) e \(-2c\).

$$ \diamond\diamond\diamond $$
Prodotto tra polinomi

Il prodotto tra due polinomi è una operazione che ci restituisce un nuovo polinomio. Per svolgere tale operazione basterà moltiplicare ogni monomio del primo polinomio per tutti i monomi del secondo polinomio, per poi sommare algebricamente tali risultati.
Supponiamo di voler effettuare il seguente prodotto
$$ (2x+y)\cdot(x^2-2xy) $$ Il risultato sarà $$ 2x\cdot(x^2)+2x\cdot(-2xy)+y\cdot(x^2)+y\cdot(-2xy) =2x^3-3x^2y-2xy^2 $$ $$ 2x\cdot(x^2)+2x\cdot(-2xy)+y\cdot(x^2)+y\cdot(-2xy)= $$ $$ =2x^3-3x^2y-2xy^2 $$ $$ 2x\cdot(x^2)+2x\cdot(-2xy)+ $$ $$ +y\cdot(x^2)+y\cdot(-2xy)= $$ $$ =2x^3-3x^2y-2xy^2 $$

$$ \diamond\diamond\diamond $$
Divisione tra polinomi

La divisione tra due polinomi è un argomento più complesso rispetto al prodotto. Esistono due metodi per svolgere questa operazione:
Metodo canonico: Si tratta di una divisione tabellare simile a quella che viene usata per la divisione classica tra numeri. Potete immaginare da voi la complessità di tale metodo quando al posto dei numeri abbiamo dei polinomi;
Regola di Ruffini: In questo caso dovrete imparare un metodo del tutto nuovo. La regola di Ruffini la ritroverete praticamente ovunque, è fondamentale. Quando è possibile, conviene utilizzare tale regola, perchè è più veloce e meno complessa del metodo canonico.
Entrambi i metodi, vista la loro "complessità", verranno trattati nel corso di Algebra.
$$ \diamond\diamond\diamond $$ $$ \diamond $$
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