Esempi di forme differenziali

Vediamo alcuni casi particolari di forme ad esempio nel piano e nello spazio. La teoria si può sviluppare in spazi a noi noti a dimensione 2 o 3, il tutto naturalmente risulta essere valido in dimensione qualunque.


1-Forma differenziale su \( \mathrm R^2\)

Una forma differenziale su \( \mathbb R^2 \) si può esprimere come: $$ \omega_{\mathbb R^2} = \mathrm A_1(x, y)dx_1 + \mathrm A_2(x, y)dx_2 $$ Dove abbiamo due funzioni a due variabili. Come esempi concreti sono forme differenziali a due variabili le seguenti (omettiamo il pedice, siamo oramai esperti per capire che la forma è a due dimensioni): $$ \omega = \bigl(x^2+y^2\bigr)dx_1 + \bigl(xy\bigr)dx_2 $$ $$ \omega = \bigl(cos(xy)\bigr)dx_1 + \bigl(sen(xy)\bigr)dx_2 $$ $$ \omega = \bigl(2x e^{x-y}\bigr)dx_1 + \left({1 \over x+y}log(xy)\right)dx_2 $$



1-Forma differenziale su \( \mathrm R^3\)

Una forma differenziale su \( \mathbb R^3 \) si può esprimere come: $$\large \omega_{\mathbb R^3} = \mathrm A_1(x, y, x)dx_3 + \mathrm A_2(x, y, x)dx_2 + \mathrm A_3(x, y, x)dx_3 $$ $$ \omega_{\mathbb R^3} = \mathrm A_1(x, y, x)dx_3 + \mathrm A_2(x, y, x)dx_2 + \mathrm A_3(x, y, x)dx_3 $$ $$ \omega_{\mathbb R^3} = \mathrm A_1(x, y, x)dx_3 + \mathrm A_2(x, y, x)dx_2 + \\ + \mathrm A_3(x, y, x)dx_3 $$ Dove abbiamo tre funzioni a tre variabili. Come esempi concreti sono forme differenziali a tre variabili le seguenti (omettiamo il pedice, siamo oramai esperti per capire che la forma è a tre dimensioni): $$ \omega = \bigl(x^2+y^2+z^2\bigr)dx_1 + \bigl(xy-z\bigr)dx_2 + \bigl(3xy+z^2\bigr)dx_2 $$ $$ \omega = \bigl(\sqrt{x-y}\bigr)dx_1 + \bigl(3z\bigr)dx_2 + \bigl(log(xy-2)\bigr)dx_2 $$ $$ \omega = \bigl(x^2+y^2+z^2\bigr)dx_1 + \bigl(xy-z\bigr)dx_2 + \bigl(3xy+z^2\bigr)dx_2 $$ $$ \omega = \bigl(\sqrt{x-y}\bigr)dx_1 + \bigl(3z\bigr)dx_2 + \bigl(log(xy-2)\bigr)dx_2 $$ $$ \omega = \bigl(x^2+y^2+z^2\bigr)dx_1 + \\ + \bigl(xy-z\bigr)dx_2 + \\ +\bigl(3xy+z^2\bigr)dx_2 $$ $$ \omega = \bigl(\sqrt{x-y}\bigr)dx_1 + \\ + \bigl(3z\bigr)dx_2 + \\ + \bigl(log(xy-2)\bigr)dx_2 $$



Errore comune

Attenzione alla seguente cosa! Questo è un errore comune. Una forma differenziale su \( \mathbb R^2\) non è una 2-forma (di grado 2) ed un aforma differenziale su \( \mathbb R^3\) non è una 3-forma (di grado 3). In questa sezione parliamo solo di forme di grado 1 (1-forme), il fatto che siano definite su spazi a dimensione qualsiasi non c'entra nulla con l'ordine, ricordo che quì parliamo solo di 1-Forme.


1-Forma differenziale su \( \mathrm R^h\)

Il giorno che ci verrà chiesto cos'è una forma differenziale su \( \mathbb R^h \) diremo che essa è definita sommando \( h\) funzioni di \( h\) variabili con \( h\) differenziali nel seguente modo: $$ \omega = \sum_{k=1}^n \mathrm A_k\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_h \end{pmatrix} dx_k $$


$$ \diamond $$
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