Integrale di una forma differenziale

Che cosa ci facciamo con queste 1-forme? Anzitutto, c'è da dire che esiste una correlazione tra le forme differenziali ed i campi vettoriali e questo lo vedremo durante il corso. Una cosa interessante che possiamo fare e chè è estremamente importante è calcolare l' integrale di una forma differenziale \( \omega \) lungo una curva \( \gamma \)

$$ \large \int_\gamma \omega $$

Come interpretiamo questa operazione? Che significato ha in termini geometrici? In termini fisici, possiamo associarla al lavoro di un campo vettoriale lungo un cammino, ma è solo un punto di vista, come già detto ci sono molte somiglianze con i campi vettoriali, ma è errato dire che sono la stessa cosa. Se però vediamo la forma differenziale come un campo vettoriale e la curva come la traiettoria allora l'integrale assume il significato del lavoro (in fisica). $$ \diamond\diamond\diamond $$

La definizione dell'integrale di una 1-Forma

Ci troviamo sempre all'interno di \( \Omega\) (sottoinsieme aperto di \( \mathbb R^n \). In \(\omega \) consideriamo una curva \( \gamma \) che sia di classe \( C^{(1)}\) "a tratti" (cioè: che abbia almeno la derivata prima continua su un insieme finito di sottointervalli \( [t_{k-1}, t_k], \forall k = 1,...,n \) ).

Curva C1-derivabile a tratti

l'integrale della forma differenziale \( \omega \) lungo \( \gamma \) il seguente numero dato dall'integrale unidimensionale valutato sulla parametrizzazione della curva. $$ \large \int_\gamma \omega = \int_a^b \sum_{i=1}^n \mathrm A_i\bigl(\gamma(t)\bigr)\overset{\Large \cdot}{\gamma_i}(t)dt $$ Ora, vi starete chiedendo che significa questa espressione. Guardiamola attentamente. sappiamo che la curva \( \gamma \) si trova in \( \Omega\) cosi come le funzioni \( \mathrm A_i \). Quando passiamo dall'integrale \( \int_\gamma \omega\) all'integrale su \( \int_{[a, b]} \) stiamo sottintentendo che ci sia una parametrizzazione della curva (vedete \( t\)) e che l'integrale sia del tipo classico su una curva, ossia un integrale al differenziale d'arco.



Esempi

Come esempi, se abbiamo una forma differenziale su \( \mathbb R^2 \): $$ \mathrm A(x, y)dx + B(x, y)dy $$ e la curva gamma definita dalla seguente parametrizzazione $$ \gamma: \begin{cases} x = x(t) \\ y = y(t) \end{cases} $$ allora l'integrale della suddetta forma differenziale esteso alla curva \( \gamma \) sarà dato, applicando la definizione dalla seguente espressione: $$ \int_a^b \Bigl( \mathrm A\bigl( x(t), y(t)\bigr) \overset{dx}{\overbrace{\overset{\large\cdot}{x}(t)dt}} + \mathrm B\bigl(x(t), y(t) \bigr)\overset{dy}{\overbrace{\overset{\large\cdot}{y}(t)dt}} \Bigr) $$ $$ \int_a^b \Bigl( \mathrm A\bigl( x(t), y(t)\bigr)\overset{\large\cdot}{x}(t) + \mathrm B\bigl(x(t), y(t) \bigr)\overset{\large\cdot}{y}(t) \Bigr)dt $$ $$ \int_a^b \Bigl( \mathrm A\bigl( x(t), y(t)\bigr) \overset{dx}{\overbrace{\overset{\large\cdot}{x}(t)dt}} + \mathrm B\bigl(x(t), y(t) \bigr)\overset{dy}{\overbrace{\overset{\large\cdot}{y}(t)dt}} \Bigr) $$ $$ \int_a^b \Bigl( \mathrm A\bigl( x(t), y(t)\bigr)\overset{\large\cdot}{x}(t) + \mathrm B\bigl(x(t), y(t) \bigr)\overset{\large\cdot}{y}(t) \Bigr)dt $$ $$ \int_a^b \Bigl( \mathrm A\bigl( x(t), y(t)\bigr) \overset{dx}{\overbrace{\overset{\large\cdot}{x}(t)dt}} + \\ + \mathrm B\bigl(x(t), y(t) \bigr)\overset{dy}{\overbrace{\overset{\large\cdot}{y}(t)dt}} \Bigr) $$ $$ \int_a^b \Bigl( \mathrm A\bigl( x(t), y(t)\bigr)\overset{\large\cdot}{x}(t) + \\ + \mathrm B\bigl(x(t), y(t) \bigr)\overset{\large\cdot}{y}(t) \Bigr)dt $$

$$ \diamond $$
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