Che cos'è una forma differenziale

Una forma differenziale è un oggetto simile ad una combinazione lineare, cioè una somma di tanti termini. Questi termini sono però, di un tipo differente. Essi sono il prodotto di una funzione per un differenziale, da quì il nome "forma differenziale". I matematici, talvolta si riferiscono alle suddette "forme differenziali" con il termine: 1-forme, io di solito farò riferimento ad entrambe le nomenclature, quindi non si tratta di cose diverse ma ci riferiamo sempre allo stesso oggetto, sia che si parli di 1-forme, sia che si parli di forme differenziali (di grado uno). In generale una 1-forma è una applicazione:

$$ \omega: \mathrm \Omega \rightarrow (\mathbb R^n)^* $$

Dove \( (\mathbb R^n)^* \) è lo spazio duale di \( \mathbb R^n \). Di queste forme differenziali esiste tutta una teoria che cercherò di sviluppare in questa sezione del corso. Quando invece, sarete degli esperti, nel corso di Geometria superiore verranno trattate le k-forme differenziali che sono un'estensione di questi concetti da un punto di vista molto più generale... ma pazientate ed iniziate dal principio, adesso bisogna "piazzare le fondamenta" ;)

Per definire una forma differenziale abbiamo bisogno di un sottoinsieme \( \mathrm \Omega \) aperto di \( \mathbb R^2 \). E' tradizione indicare le forme differenziali con la lettera \( \omega \) (minuscolo)

$$ \omega = \sum_{k=1}^n \mathrm A_k dx_k $$ $$ \large \omega = \mathrm A_1 dx_1 + \mathrm A_2 dx_2 + \mathrm A_3 dx_3 + \ldots + \mathrm A_n dx_n $$ $$ \omega = \mathrm A_1 dx_1 + \mathrm A_2 dx_2 + \mathrm A_3 dx_3 + \ldots + \mathrm A_n dx_n $$ $$ \small \omega = \mathrm A_1 dx_1 + \mathrm A_2 dx_2 + \mathrm A_3 dx_3 + \ldots + \mathrm A_n dx_n $$ La scrittura in questione, mette in evidenza la base del duale (formata dai differenziali)

A cosa servono queste forme differenziali? Come al solito, ad ogni idea astratta e matematica sono associate innumerevoli applicazioni in primis alla fisica. E questo è questo è il campo in cui le forme differenziali trovano maggior uso, come approfondiremo in seguito.


Le funzioni come coefficienti

Le funzioni che compaiono nella definizione sono a più variabili, definite in \( \Omega \), ossia \( A : \mathrm \Omega \rightarrow \mathbb R \). naturalmente tutte le proprietà di continuità, derivabilità ecc, vengono ereditate da queste funzioni, di conseguenza una forma differenziale si dirà continua se lo saranno tutte le funzioni \( \mathrm A_k\), si dirà derivabile, se lo saranno tutte le funzioni \( \mathrm A_k\) ecc.

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