Integrale di linea di un campo vettoriale

Consideriamo un campo vettoriale \( F \) in uno spazio tridimensionale come ad esempio \( \mathbb R^3\), stesso discorso vale in generale in unospazio ad \( n\) dimensioni. Supponiamo di avere una curva \( \gamma \) continua e derivabile, in modo tale che in ogni suo punto sia definito il campo. In sostanza da ogni punto della curva, esce una freccia orientata, che rappresenta il campo in quel punto:

Il campo può essere, un campo elettromagnetico, gravitazionale ecc, rappresenta l'effetto di una forza in un dominio dello spazio. Se ci spostiamo lungo la curva, naturalmente il campo avra effetto sul nostro percorso, o se a spostarsi è una particella, il campo compirà un lavoro, lungo la curva. Per calcolare il lavoro del campo lungo la curva bisogna introdurre uno strumento chiamato integrale di linea del campo vettoriale.

Elemento di lavoro

Ricordando quanto detto per le curve, se considero un elemento infinitesimo di curva \( d\gamma\), posso calcolare il prodotto scalare tra lo spostamento infinitesimo e il campo (che approssiamo il suo effetto relativamente a quello spostamento) $$ \langle F, d\gamma \rangle = \left\langle \begin{pmatrix} F_x \\ F_y \\ F_x \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} dx \\ dy \\ dx \end{pmatrix}\right\rangle $$


Integrale di linea

Se immaginiamo di calcolare, per ogni elemento di curva il prodotto scalare tra il campo e lo spostamento infinitesimo e sommiamo tutto, otteniamo l'integrale di linea che cerchiamo. $$ \int_\gamma \langle F, d\gamma \rangle = \int_{t_B}^{t_B} \left\langle \begin{pmatrix} F_x \\ F_y \\ F_x \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} dx \\ dy \\ dx \end{pmatrix}\right\rangle$$ $$ = \int_A^B F_xdx + F_ydy + F_zdz $$

$$ \diamond $$
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