Lunghezza

Sapendo calcolare la lunghezza di una spezzata approssimante, per calcolare la lunghezza di una curva bisogna rendere più fine la spezzata, cioè bisogna accorciare sempre più, i segmenti della spezzata...

Per fare questo, supponiamo di avere \( n \) segmenti infinitesimi e facciamo tendere \( n \rightarrow \infty \). Questo si traduce in 2 cose:

Ora, per calcolare la lunghezza di tutta la curva, come per il caso precedente, bisogna sommare questi segmentini infinitesimi; che cos'è una somma di "un numero infinito di infinitesimi"? Naturalmente è un integrale esteso alla curva gamma:

$$ {\large l_\gamma = \int_\gamma d\gamma = \int_\gamma \sqrt{dx^2 + dy^2 + dz^2}} = \int_{t_A}^{t_B} {\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dz}{dt}\right)^2} dt } $$ $$ = \int_{t_A}^{t_B} \left\lvert \frac{d\gamma}{dt} \right\rvert dt $$ $$ {\large l_\gamma = \int_\gamma d\gamma = \int_\gamma \sqrt{dx^2 + dy^2 + dz^2}} = \int_{t_A}^{t_B} {\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dz}{dt}\right)^2} dt } $$ $$ = \int_{t_A}^{t_B} \left\lvert \frac{d\gamma}{dt} \right\rvert dt $$ $$ \large l_\gamma = \int_\gamma d\gamma $$ $$ \downarrow $$ $$ \large \int_\gamma \sqrt{dx^2 + dy^2 + dz^2} $$ $$ \downarrow $$ $$ \int_{t_A}^{t_B} {\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dz}{dt}\right)^2} dt } $$ $$ \downarrow $$ $$ \large \int_{t_A}^{t_B} \left\lvert \frac{d\gamma}{dt} \right\rvert dt $$

$$ \diamond $$
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