Parametrizzazione

Una curva è una sequenza di punti, un luogo geometrico, definibile attraverso una cosiddetta parametrizzazione. Si considera un intervallo unidimensionale compatto \( [a, b]\) (estremi inclusi). Si sceglie un "parametro" appartenente al'intervallo (es: \( t \in [a, b] \) ). Ad ogni valore di \( t\) si associa un punto della curva.

$$ \gamma(t): \mathbb [a, b] \rightarrow \mathbb R^n $$

La definizione matematica di una curva, può quindi essere vista come un vettore di coordinate parametriche in \( t\) . Ogni coordinata è una funzione di variabile reali di \(t\) e rappresenta la componente del vettore al variare di \( t\). Negli esempi faremo riferimento a curve di \( \mathbb R^2 \) o di \( \mathbb R^3 \) ed estenderemo i concetti ad \( \mathbb R^n \). $$ \large \gamma(t)_\mathbb{R^3} = \begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) \\ z(t) \end{pmatrix} \hspace{2cm} \gamma(t)_\mathbb{R^2} = \begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) \end{pmatrix} $$ $$ \gamma(t)_\mathbb{R^3} = \begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) \\ z(t) \end{pmatrix} \hspace{2cm} \gamma(t)_\mathbb{R^2} = \begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) \end{pmatrix} $$ $$ \gamma(t)_\mathbb{R^3} = \begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) \\ z(t) \end{pmatrix} $$ $$ \gamma(t)_\mathbb{R^2} = \begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) \end{pmatrix} $$ Possiamo definire una parametrizzazione alternativamente mediante la seguente scrittura: $$ \large \gamma(t)_{\mathbb R^2} = \begin{cases} x = x(t) \\ y = y(t) \end{cases} \hspace{2cm} \gamma(t)_{\mathbb R^2} = \begin{cases} x = x(t) \\ y = y(t) \\ z = z(t) \end{cases} $$ $$ \gamma(t)_{\mathbb R^2} = \begin{cases} x = x(t) \\ y = y(t) \end{cases} \hspace{2cm} \gamma(t)_{\mathbb R^2} = \begin{cases} x = x(t) \\ y = y(t) \\ z = z(t) \end{cases} $$ $$ \gamma(t)_{\mathbb R^2} = \begin{cases} x = x(t) \\ y = y(t) \end{cases} $$ $$ \gamma(t)_{\mathbb R^2} = \begin{cases} x = x(t) \\ y = y(t) \\ z = z(t) \end{cases} $$

$$ \diamond $$
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