Lunghezza di una curva

Arrivati a questo punto, la prima cosa che vogliamo fare è calcolare la lunghezza di una curva. Come è possibile fare questo? Iniziamo dai casi più semplici con i segmenti:


Lunghezza di un segmento

Per calcolare la lunghezza di un segmento \( \overline{AB} \), sapete tutti, è triviale, basta considerare la formula della distanza tra due punti, che, naturalmente, essendo \( \mathbb R^3 \) o più in generale \( \mathbb R^n \) dotato di una metrica abbiamo: $$ l_{AB} = \overline{AB} = dist(A, B) = \sqrt{(a_1-b_1)^2 + (a_2-b_2)^2 + (a_3-b_3)^2} = ||A-B|| $$ $$ l_{AB} = \overline{AB} = dist(A, B) = \sqrt{(a_1-b_1)^2 + (a_2-b_2)^2 + (a_3-b_3)^2} = ||A-B|| $$ $$ l_{AB} = \overline{AB} = dist(A, B) $$ $$ \downarrow $$ $$ \small \sqrt{(a_1-b_1)^2 + (a_2-b_2)^2 + (a_3-b_3)^2} $$ $$ \downarrow $$ $$ ||A-B|| $$

Lunghezza di una curva

Come possiamo calcolare la lunghezza di una curva? La curva è "curva", per l'appunto; quindi, sicuramente bisogna agire diversamente. Vediamo come fare: prendiamo la nostra parametrizzazione $$ \gamma(t) = \begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) \\ z(t) \end{pmatrix} $$ Sappiamo che una curva è parametrizzata in un intervallo di \( \mathbb R \) ad esempio da \( A\) a \( B\), che sono gli estremi della curva. La parametrizzazione "mappa" ogni punto del dominio, perciò, \( \gamma(t_A) \rightarrow A \) e \( \gamma(t_B) \rightarrow B \)

una spezzata è l'unione di un insieme di segmentini la cui lungheza e la somma delle lunghezze di tutti i segmentini

Un metodo è quello di costrutire una spezzata, ossia un insieme di segmentini, sulla curva, approssimandola per difetto "sappiamo calcolare naturalmente la distanza tra due punti" (di un segmento) e quindi per calcolare la lunghezza della curva calcoliamo la lunghezza della spezzata approssimante (vista come unione di tanti segmentini). Consideriamo un segmentino \( XX' \), la sua parametrizzazione si ottiene prendendo i due istanti corrispondenti agli estremi \( t_i, t_i+1\),

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