Vettore tangente

Ora, definito cosa si intende per curva nello spazio, definiamo il concetto di vettore tangente alla curva in ogni suo punto.

Il vettore tangente, è tangente, cioè "sfiora", per così dire, "accarezza" la curva, o meglio ha in comune , si interseca con la curva in un sol punto.

Il vettore tangente è la derivata del raggio vettore \( \gamma(t) \) $$ \frac{d\gamma(t)}{dt} \begin{pmatrix} \frac{d x(t)}{dt} \\ \frac{d y(t)}{dt} \\ \frac{d z(t)}{dt} \end{pmatrix} $$

Interpretazione fisica della velocità

In fisica il vettore tangente è la velocità del punto lungo la curva. Supponiamo di prendere una curva continua e derivabile in ogni punto. Consideriamo due punti diversi sulla curva come in figura:

Se calcoliamo il rapporto tra lo spazio percorso \( \Delta r \) ed il tempo impiegato \( \Delta t\) $$ v_m = \frac{\Delta r}{\Delta t} $$ otteniamo la velocità media del punto nell'intervallo suddetto.

Se calcoliamo il limite per \( \Delta t \rightarrow 0\) abbiamo che l'istante si riduce, il raggio vettore si avvicina sempre più a coincidere, e la retta secante si approssima alla tangente nel punto \( P\). $$ lim_{\Delta t \rightarrow 0} \frac{r(t + \delta t) - r(t)}{\Delta t} = v(t) $$

$$ \diamond $$
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