Chain Rule

Presento in questa pagina, una delle formule più importanti di tutto il calcolo differenziale: la chain-rule - tradotto "regola della catena". Ti avverto che all'inizio sarà difficile capirla a fondo per via dell'ammontare dei molti indici e simboli che la rendono, direi, molto complicata; ma una volta acquisita una certa dimestichezza operativa con lo strumento (risolvendo tutti gli esercizi proposti) sarà la migliore compagna di avventure e diverrà parte di te.

In effetti, ogni qualvolta dobbiamo acquisire nuove tecniche o imparare nuove cose, bisogna raggiungere un'abilità mentale che renda il tutto implicito ed automatizzato; non puoi certamente pretendere che appena dopo aver letto questa pagina, diventerai un esperto della chai rule, ci vuole un po di tempo, almeno due o tre giorni... ricordi il tuo primo giro in bici? Sicuramente non eri esperto, ma ora lo sei... Ebbene, ora sei in una situazione analoga, in cui devi fare amicizia con un nuovo oggetto chiamato "chai-rule", preparati al tuo primo approccio con la formula... che ti presento, e segui i miei consigli... $$ {\large \frac{\partial \Psi_k}{\partial x_i}(x_0) = \sum_{j=1}^m \frac{\partial g}{\partial y_j}\Bigl(f(x_0)\Bigr)\frac{\partial f_j}{\partial x_i}(x_0)}$$ $$ {\large \frac{\partial \Psi_k}{\partial x_i}(x_0) = \sum_{j=1}^m \frac{\partial g}{\partial y_j}\Bigl(f(x_0)\Bigr)\frac{\partial f_j}{\partial x_i}(x_0)}$$ $$ {\small \frac{\partial \Psi_k}{\partial x_i}(x_0) = \sum_{j=1}^m \frac{\partial g}{\partial y_j}\Bigl(f(x_0)\Bigr)\frac{\partial f_j}{\partial x_i}(x_0)}$$

Per prima cosa: a che serve questa formula? In un corso di analisi due, si ha a che fare con funzioni di più variabili, ossia, relazioni che associano a gruppi di numeri, gruppi di numeri, la chain-rule serve a calcolare le derivate delle composizioni di queste funzioni di più variabili, sostanzialmente, c'è poca teoria e tanta pratica da applicare, ma vediamo ora cosa compare nella formula:

La formula esprime la derivata parziale della componente \( k\)-esima di \( \Psi \), rispetto alla variabile \( x_i\), e si esprime con una somma. In questa somma c'è la "catena", la catena si basa sullo stesso principio delle "matrioske"; si parte dalle funzioni più esterne fino a giungere a quelle più interne; quindi se \( \Psi = g \circ f \), si deriva \( g\) rispetto all'input (tutte le sue variabili in input, che sono \( y_1, y_1, \ldots, y_m\)) in questo modo: \( \frac{\partial g}{\partial y_j}\) e poi si passa all'argomento \( \frac{\partial f_j}{\partial x_i}\) che deve essere derivato rispetto all'input (tutte le varibili \( x_1, x_2, \ldots, x_n\)), il tutto viene moltiplicato.


Ad esempio se ho una funzione \( g(x, y, z) \), \( f(s, t)\), dove \(x = f_1(s, t)\), \( y = f_2(s, t)\), \( z = f_3(s, t)\) e \( \Psi(s, t) = g(f_1(s, t), f_2(s, t), f_3(s, t),)\) allora la formula estesa diventa: $$ {\partial\Psi \over \partial s} = \frac{\partial g}{\partial x}\begin{pmatrix}f_1(s_0, t_0) \\ f_2(s_0, t_0) \\ f_3(s_0, t_0) \end{pmatrix}\frac{\partial f_1}{\partial s}(s_0, t_0) + \frac{\partial g}{\partial y}\begin{pmatrix}f_1(s_0, t_0) \\ f_2(s_0, t_0) \\ f_3(s_0, t_0) \end{pmatrix}\frac{\partial f_2}{\partial s}(s_0, t_0) + \frac{\partial g}{\partial z}\begin{pmatrix}f_1(s_0, t_0) \\ f_2(s_0, t_0) \\ f_3(s_0, t_0) \end{pmatrix}\frac{\partial f_3}{\partial s}(s_0, t_0) $$ $$ {\partial\Psi \over \partial s} = \frac{\partial g}{\partial x}\begin{pmatrix}f_1(s_0, t_0) \\ f_2(s_0, t_0) \\ f_3(s_0, t_0) \end{pmatrix}\frac{\partial f_1}{\partial s}(s_0, t_0) + \frac{\partial g}{\partial y}\begin{pmatrix}f_1(s_0, t_0) \\ f_2(s_0, t_0) \\ f_3(s_0, t_0) \end{pmatrix}\frac{\partial f_2}{\partial s}(s_0, t_0) + \frac{\partial g}{\partial z}\begin{pmatrix}f_1(s_0, t_0) \\ f_2(s_0, t_0) \\ f_3(s_0, t_0) \end{pmatrix}\frac{\partial f_3}{\partial s}(s_0, t_0) $$ $$ {\partial\Psi \over \partial s} = \frac{\partial g}{\partial x}\begin{pmatrix}f_1(s_0, t_0) \\ f_2(s_0, t_0) \\ f_3(s_0, t_0) \end{pmatrix}\frac{\partial f_1}{\partial s}(s_0, t_0) + $$ $$ + \frac{\partial g}{\partial y}\begin{pmatrix}f_1(s_0, t_0) \\ f_2(s_0, t_0) \\ f_3(s_0, t_0) \end{pmatrix}\frac{\partial f_2}{\partial s}(s_0, t_0) + $$ $$ + \frac{\partial g}{\partial z}\begin{pmatrix}f_1(s_0, t_0) \\ f_2(s_0, t_0) \\ f_3(s_0, t_0) \end{pmatrix}\frac{\partial f_3}{\partial s}(s_0, t_0) $$

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