Chain Rule (caso intermedio)

La formula che ho presentato, all'inizio è nella sua veste più generale, dove ogni funzione è a più variabili. Supponiamo che le funzioni \( f, g\) e \( \Psi \) siano le seguenti:

La funzione \( g\), associa ad un vettore di \( n\) variabili un numero, mentre \( f\) fa il contrario: associa ad un numero un vettore. Se componiamo le due funzioni nella funzione \( g \circ f \) ed esplicitiamo gli argomenti si ha che l'input di \( g\) è l'output di \( f\): $$ \large \Psi(t) = g(f(\cdot)) = g\Bigr( f_1(t), f_2(t), \ldots, f_n(t) \Bigl) $$ $$ \Psi(t) = g(f(\cdot)) = g\Bigr( f_1(t), f_2(t), \ldots, f_n(t) \Bigl) $$ $$ \small \Psi(t) = g(f(\cdot)) = g\Bigr( f_1(t), f_2(t), \ldots, f_n(t) \Bigl) $$ La chain-rule, assume allora la seguente forma: $$ {\large \overset{\Large \cdot}{\Psi} = \sum_{i=1}^n \frac{\partial g}{\partial f_i}\Bigr( f(t) \Bigl) \frac{df_i}{dt}(t) } $$ Bisogna fare attenzione che \( f(t) \) è un vettore, la formula espressa correttamente è quindi: $$ \sum_{i=1}^n \frac{\partial g}{\partial f_i}\begin{pmatrix} f_1(t) \\ f_2(t) \\ \vdots \\ f_n(t) \end{pmatrix} \frac{df_i}{dt}(t) $$

Proviamo ad esplicitare la somma, anzi prova ad esplicitarla su un foglio e poi controlla se coincide con quanto sta scritto di seguito: Faccio notare che ho usato la notazione di Newton (con il puntino) per indicare la derivata "totale", l'ho fatto perchè, anzitutto è corretto parlare di derivata totale, in quanto dia \(\Psi\) che \( f_i\) sono funzioni ad una variabile, e poi la notazione è molto concisa e vale la pena usarla. $$ \frac{d\Psi(t)}{dt} = \overset{\Large \cdot}{\Psi} = \frac{\partial g}{\partial f_1}\begin{pmatrix} f_1(t) \\ f_2(t) \\ \vdots \\ f_n(t) \end{pmatrix}\overset{\Large \cdot}{f_1} + \frac{\partial g}{\partial f_2}\begin{pmatrix} f_1(t) \\ f_2(t) \\ \vdots \\ f_n(t) \end{pmatrix}\overset{\Large \cdot}{f_2} + \ldots + \frac{\partial g}{\partial f_n}\begin{pmatrix} f_1(t) \\ f_2(t) \\ \vdots \\ f_n(t) \end{pmatrix}\overset{\Large \cdot}{f_n} $$ $$ \frac{d\Psi(t)}{dt} = \overset{\Large \cdot}{\Psi} = \frac{\partial g}{\partial f_1}\begin{pmatrix} f_1(t) \\ f_2(t) \\ \vdots \\ f_n(t) \end{pmatrix}\overset{\Large \cdot}{f_1} + \frac{\partial g}{\partial f_2}\begin{pmatrix} f_1(t) \\ f_2(t) \\ \vdots \\ f_n(t) \end{pmatrix}\overset{\Large \cdot}{f_2} + \ldots + \frac{\partial g}{\partial f_n}\begin{pmatrix} f_1(t) \\ f_2(t) \\ \vdots \\ f_n(t) \end{pmatrix}\overset{\Large \cdot}{f_n} $$ $$ \frac{d\Psi(t)}{dt} = \overset{\Large \cdot}{\Psi} = \frac{\partial g}{\partial f_1}\begin{pmatrix} f_1(t) \\ f_2(t) \\ \vdots \\ f_n(t) \end{pmatrix}\overset{\Large \cdot}{f_1} + $$ $$ + \frac{\partial g}{\partial f_2}\begin{pmatrix} f_1(t) \\ f_2(t) \\ \vdots \\ f_n(t) \end{pmatrix}\overset{\Large \cdot}{f_2} + \ldots + $$ $$ + \frac{\partial g}{\partial f_n}\begin{pmatrix} f_1(t) \\ f_2(t) \\ \vdots \\ f_n(t) \end{pmatrix}\overset{\Large \cdot}{f_n} $$ Volendo alleggerire ulteriormente la notazione, sapendo che le derivate parziali vengono valutate nel punto \( ( f_1(t), f_2(t), \ldots, f_n(t) ) \) ed il tutto è implicito, una volta capito, si può scrivere più semplicemente: $$ \frac{\partial g}{\partial f_1}\overset{\Large \cdot}{f_1} + \frac{\partial g}{\partial f_2}\overset{\Large \cdot}{f_2} + \ldots + \frac{\partial g}{\partial f_n}\overset{\Large \cdot}{f_n} $$

ESEMPIO TEORICO

Come esempio supponiamo che \( f: \mathbb R \rightarrow \mathbb R^2 \) e \( g: \mathbb R^2 \rightarrow \mathbb R \) allora avremo che: $$ \Psi = g(f(t)) = \Psi(t) $$ $$ g \Bigl( f_1(t), f_2(t) \Bigr) $$ Calcoliamo la derivata di \( \Psi\) rispetto a \(t\) $$ \frac{d\Psi}{dt} = \frac{\partial g}{\partial f_1} \Bigl( f_1(t), f_2(t) \Bigr) \overset{\Large \cdot}{f_1} + \frac{\partial g}{\partial f_2} \Bigl( f_1(t), f_2(t) \Bigr) \overset{\Large \cdot}{f_2} $$ $$ \frac{d\Psi}{dt} = \frac{\partial g}{\partial f_1} \Bigl( f_1(t), f_2(t) \Bigr) \overset{\Large \cdot}{f_1} + \frac{\partial g}{\partial f_2} \Bigl( f_1(t), f_2(t) \Bigr) \overset{\Large \cdot}{f_2} $$ $$ \frac{d\Psi}{dt} = \frac{\partial g}{\partial f_1} \Bigl( f_1(t), f_2(t) \Bigr) \overset{\Large \cdot}{f_1} + $$ $$ + \frac{\partial g}{\partial f_2} \Bigl( f_1(t), f_2(t) \Bigr) \overset{\Large \cdot}{f_2} $$


ESEMPIO NUMERICO

Come esempio supponiamo che \( f: t \rightarrow (cos(t), t^2) \) e \( g: (y_1, y_2) \rightarrow y_1+y_2 \) allora avremo che: $$ \Psi(t) = g\Bigl( f_1(t), f_2(t) \Bigr) = g\Bigl( cos(t), t^2(t) \Bigr) = cos(t)+t^2 $$ $$ \Psi(t) = g\Bigl( f_1(t), f_2(t) \Bigr) = g\Bigl( cos(t), t^2(t) \Bigr) = cos(t)+t^2 $$ $$ \Psi(t) = g\Bigl( f_1(t), f_2(t) \Bigr) = $$ $$ = g\Bigl( cos(t), t^2(t) \Bigr) = cos(t)+t^2 $$ Calcoliamo la derivata di \( \Psi\) rispetto a \(t\) $$ \frac{d\Psi}{dt} = \frac{\partial g}{\partial f_1} \Bigl( f_1(t), f_2(t) \Bigr) \overset{\Large \cdot}{f_1} $$

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