Differenziabilità

Che cosa significa che una funzione è differenziabile? Una cosa molto semplice! Sostanzialmente quando è approssimabile con qualcosa di lineare, nel senso che si può "linearizzare" (localmente)... vediamo di seguito come questo può essere espresso rigorosamente con un linguaggio fatto di formule ;)

SETTING

\( [\mathrm A \subseteq \mathbb R^n ] \)
un sottoinsieme dello spazio
\( [f: \mathrm A \subseteq \mathbb R^n \rightarrow \mathbb R ] \)
una funzione di più variabili
\( [x_0 \in \mathrm A] \)
un punto del dominio

Prendiamo una funzione di più variabili \( f : \mathrm A \subseteq \mathbb R^n \rightarrow \mathbb R \), definita su un sottoinsieme di \( \mathbb R^n \) ed un punto \( x_0 \in \mathrm A \). Si dice che la funzione \( f\) è differenziabile in \(x_0\) se esiste un operatore lineare \( \mathrm L(\cdot) \), tale per cui valga il limite

$$ \lim_{||h|| \to 0}{\Delta f - \mathrm L(h, x_0) \over ||h||} = \lim_{||h|| \to 0}{f(x_0 + h) - f(x_0) - \mathrm L(h, x_0) \over \sqrt{\sum_{i=1}^n x_i^2}} = 0 $$ $$ \lim_{||h|| \to 0}{\Delta f - \mathrm L(h, x_0) \over ||h||} = \lim_{||h|| \to 0}{f(x_0 + h) - f(x_0) - \mathrm L(h, x_0) \over \sqrt{\sum_{i=1}^n x_i^2}} = 0 $$ $$ \lim_{||h|| \to 0}{\Delta f - \mathrm L(h, x_0) \over ||h||} $$ $$ \downarrow $$ $$ \lim_{||h|| \to 0}{f(x_0 + h) - f(x_0) - \mathrm L(h, x_0) \over \sqrt{\sum_{i=1}^n x_i^2}} = 0 $$

Dove \(||h||\) indica la norma di \( h\) rispetto alla metrica euclidea di \( \mathbb R^n \) $$ ||h|| = \sqrt{\sum_{i=1}^n x_i^2} $$

Quello che stiamo esprimendo con questo limite, traduce il fatto seguente: Supponiamo di considerare una funzione di due variabili, in modo da visualizzare il tutto in 3D; se la funzione è differenziabile in \( x_0\), significa che deve esistere un qualche oggetto lineare di modo che più ci avviciniamo ad \( x_0\) più l'errore commesso (tra la funzione e questo oggetto lineare) diventa minimo, questo significa che l'oggetto lineare è la "versione lineare della funzione localmente ad \( x_0\)" (approssima bene il comportamento della funzione in un intorno di \( x_0\)).

$$ \diamond\diamond $$
Derivabilità e Differenziabilità

Esiste un legame tra i concetti di derivabilità e differenziabilità. In particolare: la differenziabilità implica la derivabilità. Se una funzione è differenziabile in un punto \( x_0\) è anche derivabile in quel punto. Per il vicevers bisogna fare attenzione: una funzione è differenziabile in un punto \( x_0\), se è derivabile in quel punto ed inoltre se il limite in alto tende a zero.

$$ \diamond\diamond\diamond $$ $$ \diamond $$
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