Differenziale

Abbiamo visto che una funzione di più variabili è differenziabile, quando è approssimabile con qualcosa di lineare. In particolare se esiste un "operatore \( \mathrm L \) che approssima localmente la funzione in un punto \( x_0\). Cerchiamo ora, di capire che cos'è \( \mathrm L \), da un punto di vista funzionale, nel senso che vogliamo trovare un'espressione che ci dia informazioni riguardo alla sua struttura algebrica.

Per fare questo ricordiamo che siamo partiti da un limite in cui compare un incremento \( h \) della funzione. Naturalmente \( h\) è un vettore, che può decomporsi rispetto alla base canonica di \( \mathbb R^n \) $$ h = h_1\hat e_1 + h_2 \hat e_2 + \vdots + h_n\hat e_n = \sum_{i=1}^n h_i\hat e_i$$ ma noi sappiamo che \( \mathrm L \) è un operatore lineare, perciò (per la proprietà di additività ed omogeneità), l'operatore si può decomporre (per sovrapposizioe di effetti): $$ \mathrm L(h, x_0) = \mathrm L \left(x_0, \sum_{i=1}^n h\hat e_i \right ) = h_1\mathrm L(x_0, \hat e_1) + h_2\mathrm L(x_0, \hat e_2) + \vdots + h_n\mathrm L(x_0, \hat e_n) = \sum_{i=1}^n h_i\mathrm L(x_0, \hat e_i) $$ $$ \mathrm L(h, x_0) = \mathrm L \left(x_0, \sum_{i=1}^n h\hat e_i \right ) = h_1\mathrm L(x_0, \hat e_1) + h_2\mathrm L(x_0, \hat e_2) + \vdots + h_n\mathrm L(x_0, \hat e_n) = \sum_{i=1}^n h_i\mathrm L(x_0, \hat e_i) $$ $$ \mathrm L(h, x_0) = \mathrm L \left(x_0, \sum_{i=1}^n h\hat e_i \right ) = \\ = h_1\mathrm L(x_0, \hat e_1) + h_2\mathrm L(x_0, \hat e_2) + \\ + \ldots + \\ + h_n\mathrm L(x_0, \hat e_n) = \sum_{i=1}^n h_i\mathrm L(x_0, \hat e_i) $$

Ora attenzione; supponiamo di concentrarci su una sola direzione (ad esempio lungo la direzione\( k\)-esima ), il limite, che definisce la differenziabilità diventa: $$ \lim_{|\lambda| \to 0}{f(x_0 + \lambda\hat e_k) - f(x_0) - \lambda\mathrm L(x_0, \hat e_k) \over |\lambda|} = 0 $$ $$ \lim_{|\lambda| \to 0}{f(x_0 + \lambda\hat e_k) - f(x_0) \over |\lambda|} = \lim_{|\lambda| \to 0}{\lambda\mathrm L(x_0, \hat e_k) \over |\lambda|} = 0 $$ $$ \lim_{|\lambda| \to 0}{f(x_0 + \lambda\hat e_k) - f(x_0) - \lambda\mathrm L(x_0, \hat e_k) \over |\lambda|} = 0 $$ $$ \lim_{|\lambda| \to 0}{f(x_0 + \lambda\hat e_k) - f(x_0) \over |\lambda|} = \lim_{|\lambda| \to 0}{\lambda\mathrm L(x_0, \hat e_k) \over |\lambda|} = 0 $$ $$ \small \lim_{|\lambda| \to 0}{f(x_0 + \lambda\hat e_k) - f(x_0) - \lambda\mathrm L(x_0, \hat e_k) \over |\lambda|} = 0 $$ $$ \lim_{|\lambda| \to 0}{f(x_0 + \lambda\hat e_k) - f(x_0) \over |\lambda|} $$ $$ \downarrow $$ $$ \lim_{|\lambda| \to 0}{\lambda\mathrm L(x_0, \hat e_k) \over |\lambda|} = 0 $$ il valore assoluto \( | \lambda | \) possiamo toglierlo, in quanto \( \lambda > 0 \): $$ \require{cancel} \lim_{\lambda \to 0}{f(x_0 + \lambda\hat e_k) - f(x_0) \over \lambda} = \lim_{\lambda \to 0}{\bcancel{\lambda} \mathrm L(x_0, \hat e_k) \over \bcancel{|\lambda|}} = 0 $$ $$ \require{cancel} \lim_{\lambda \to 0}{f(x_0 + \lambda\hat e_k) - f(x_0) \over \lambda} = \lim_{\lambda \to 0}{\bcancel{\lambda} \mathrm L(x_0, \hat e_k) \over \bcancel{|\lambda|}} = 0 $$ $$ \require{cancel} \lim_{\lambda \to 0}{f(x_0 + \lambda\hat e_k) - f(x_0) \over \lambda} $$ $$ \downarrow $$ $$ \lim_{\lambda \to 0}{\bcancel{\lambda} \mathrm L(x_0, \hat e_k) \over \bcancel{|\lambda|}} = 0 $$ Esplicitando tutto rispetto ad \( \mathrm L \) abbiamo che: $$ \lim_{\lambda \to 0}{f(x_0 + \lambda\hat e_k) - f(x_0) \over \lambda} = \mathrm L(x_0, \hat e_k) = {\partial f \over \partial \hat e_k}(x_0) $$ $$ \lim_{\lambda \to 0}{f(x_0 + \lambda\hat e_k) - f(x_0) \over \lambda} = \mathrm L(x_0, \hat e_k) = {\partial f \over \partial \hat e_k}(x_0) $$ $$ \lim_{\lambda \to 0}{f(x_0 + \lambda\hat e_k) - f(x_0) \over \lambda} $$ $$ \downarrow $$ $$ \mathrm L(x_0, \hat e_k) = {\partial f \over \partial \hat e_k}(x_0) $$

E quì si intuisce tutto. L'operatore \( \mathrm L \) si chiama differenziale della funzione \( f\) nel punto \( x_0\). Il differenziale rappresenta "l'incremento approssimato" della funzione.Esso si indica in un modo particolare (già noto dall'analisi UNO): \( df(x_0) \) . Per quanto espresso in precedenza, la formula in generale del differenziale per una funzione di più variabili in un punto \( x_0\) è: $$ {\large df(x_0) = \sum_{i=1}^n {\partial f \over \partial \hat e_i} (x_0) d\hat e_i } $$

$$ \diamond\diamond\diamond $$ $$ \diamond $$
BACK HOME NEXT

Copyright©2018 YouSciences | All rights Reserved
designed by Giuseppe Sottile


Supportaci con una donazione