Il significato del differenziale

Riprendiamo la formula del differenziale: $$ {\large df(x_0) = \sum_{i=1}^n {\partial f \over \partial \hat e_i} (x_0) d\hat e_i } $$

Cosa vi ricorda la struttura di questa formula? Essa è una somma di tanti termini, ciascuno dei quali è un prodotto... Si tratta di una combinazione lineare. Nel linguaggio dell'algebra lineare, il differenziale è una combinazione lineare, dove le derivate parziali valutate in un punto sono i coefficienti, mentre i differenziali delle variabili indipendenti rappresentano i vettori di una base. In particolare si tratta della base dello spazio duale di \( \mathbb R^n \) che si indica come: $$ \large (\mathbb R^n)^* $$

$$ \diamond\diamond\diamond $$
Differenziabilità delle operazioni elementari

Consideriamo:

SETTING

\( [\mathrm A \subseteq \mathbb R^n ] \)
un sottoinsieme dello spazio
\( [f: \mathrm A \subseteq \mathbb R^n \rightarrow \mathbb R ]\\ [g: \mathrm A \subseteq \mathbb R^n \rightarrow \mathbb R ] \)
due funzioni di più variabili differenziabili
\( [x_0 \in \mathrm A] \)
un punto del dominio
\( [\lambda \in \mathbb R] \)
un numero reale

Supponiamo di avere due funzioni \( f\) e \( g\) differenziabili in \( x_0\). Allora anche le funzioni elementari, che si ottengono dalle operazioni elementari: $$ f+g \hspace{1cm} fg \hspace{1cm} {f \over g} \hspace{1cm} \lambda f \hspace{1cm} f\circ g $$ sono differenziabili.

$$ \diamond $$
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