Derivata direzionale

Come vi ho accennato prima, una derivata parziale di una funzione è semplicemente una derivata valutata lungo una direzione prestabilita tipo \( x \). Quando si parla di derivate parziali di una funzione di più variabili, si fa però riferimento alle sole derivate lungo le direzioni canoniche (ad esempio se la funzione e di tre variabili, si definiscono le tre derivate parziali \( f_x, f_y, f_z \). Ma di direzioni ce n'è sono infinite! Per quale motivo si scelgono allora le direzioni canoniche? Per una questione di comodità - con esse abbiamo tutta l'informazione necessaria per studiare il comportamento della funzione - tuttavia le derivate parziali sono un caso particolare di un oggetto più generale in grado di valutare le variazioni lungo una qualunque direzione individuata da un vettore es. \( v\). Questo oggetto misterioso si chiama derivata direzionale. Diamone la definizione:

SETTING

\( [\mathrm A \subseteq \mathbb R^n ] \)
un sottoinsieme dello spazio
\( [x_0 \in \mathrm A] \)
un punto del dominio
\( \hat v \)
un versore

Per capirci prendiamo, ad esempio, una funzione di due variabili (campo scalare) \( f(x, y): \mathrm A \subseteq \mathbb R^2 \rightarrow \mathbb R\), un punto \( (x_0, y_0) \in \mathrm A \) ed un vettore \( v = (a, b) \in \mathbb R^2 \). La derivata direzionale della funzione lungo la direzione \( v\) è definita dal seguente limite (se esiste finito):
$$ { \frac{\partial f}{\partial v} = \lim_{\lambda \to 0} \frac{f\Biggl(\begin{pmatrix} x_0 \\ y_0 \end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}\Biggr) - f\begin{pmatrix} x_0 \\ y_0 \end{pmatrix}} {\lambda} = \mathrm D_v f(x_0, y_0) }$$ $$ { \frac{\partial f}{\partial v} = \lim_{\lambda \to 0} \frac{f\Biggl(\begin{pmatrix} x_0 \\ y_0 \end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}\Biggr) - f\begin{pmatrix} x_0 \\ y_0 \end{pmatrix}} {\lambda} = \mathrm D_v f(x_0, y_0) }$$ $$ \large \frac{\partial f}{\partial v} $$ $$ \downarrow $$ $$ \small \lim_{\lambda \to 0} \frac{f\Biggl(\begin{pmatrix} x_0 \\ y_0 \end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}\Biggr) - f\begin{pmatrix} x_0 \\ y_0 \end{pmatrix}} {\lambda} $$ $$ \downarrow $$ $$ \large \mathrm D_v f(x_0, y_0) $$
Come vedete, sto valutando la variazione di \(f\) nella direzione parallela a \(v\) e passante per il punto \( x_0\) - nel punto \( (x_0, y_0)\). La derivata direzionale, rappresenta quindi, come vi ho già accennato, il caso generale della derivata parziale. Le derivate parziali rispetto ad \( x\) ed \( y\) sono semplicemente delle derivate direzionali lungo le restrizioni della funzione ai versori paralleli agli assi coordinati \( \hat{e_i}, i = 1, \ldots, n\).

$$ \frac{\partial{f}}{\partial x} = \frac{\partial f}{\partial \hat{e_1}} = \lim_{\lambda \to 0}\frac{f(\vec{x_0}, \lambda \hat{e_1})-f(\vec{x_0})}{\lambda} $$ $$ \frac{\partial{f}}{\partial y} = \frac{\partial f}{\partial \hat{e_2}} = \lim_{\lambda \to 0}\frac{f(\vec{x_0}, \lambda \hat{e_2})-f(\vec{x_0})}{\lambda} $$
$$ \hat{e_1} = \hat{i} = \begin{bmatrix} 1 \\0 \end{bmatrix} $$ $$ \hat{e_2} = \hat{j} = \begin{bmatrix} 0 \\1 \end{bmatrix} $$

Osservate geometricamente, che la derivata direzionale rappresenta il tasso di variazione istantaneo lungo una retta individuata dalla direzione del vettore \( v\), o più correttamente del suo versore \( \hat{v} = {v\over ||v||}\).

Caso generale a dimensione n

La definizione di derivata direzionale, si estende a \( n\) dimensioni, nel senso che se considero una funzione \( f: \mathbb R^n \to \mathbb R \) allora la derivata direzionale di \( f\) lungo la direzione \( \hat{v} = \frac{v}{||v||}\) (versore di norma unitaria) nel punto \(x_0\) (vettore) è data dalla formula: $$ {\large \frac{\partial f}{\partial \hat{v}}} = \lim_{\lambda \to 0}\frac{f(\vec{x_0}, \lambda \hat{v})-f(\vec{x_0})}{\lambda} $$

$$ \diamond $$
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