Gradiente

Siamo pronti per definire il concetto fondamentale di gradiente di una funzione in un punto. Vi anticipo che si tratta dell'analogo della derivata delle funzioni ad una variabile , infatti, lo stesso nome "gradiente", deriva la latino "gradio" e significa (salire). Il gradiente, sostanzialmente misura le variazioni di una funzione di più variabili, ma procediamo "per gradi ;)"

SETTING

\( [\mathrm A \subseteq \mathbb R^n ] \)
un sottoinsieme dello spazio
\( [f: \mathrm A \subseteq \mathbb R^n \rightarrow \mathbb R ] \)
funzione di più variabili differenziabile
\( [x_0 \in \mathrm A] \)
un punto del dominio

Consideriamo una funzione \( f\) differenziabile in un punto \( x_0\). Si definisce gradiente di \(f\) in \( x_0\) il seguente vettore ad \( n\) dimensioni: $$ { grad(f)|_{x_0} = \nabla(f)|_{x_0} = \begin{pmatrix}{\partial f(x_0) \over \partial x_1} \\ {\partial f(x_0) \over \partial x_2} \\ \vdots \\ {\partial f(x_0) \over \partial x_n}\end{pmatrix} = \sum_{i=1}^n{\partial f \over \partial x_i}\hat e_i } $$ $$ { grad(f)|_{x_0} = \nabla(f)|_{x_0} = \begin{pmatrix}{\partial f(x_0) \over \partial x_1} \\ {\partial f(x_0) \over \partial x_2} \\ \vdots \\ {\partial f(x_0) \over \partial x_n}\end{pmatrix} = \sum_{i=1}^n{\partial f \over \partial x_i}\hat e_i } $$ $$ grad(f)|_{x_0} = \nabla(f)|_{x_0} $$ $$ \downarrow $$ $$ \begin{pmatrix}{\partial f(x_0) \over \partial x_1} \\ {\partial f(x_0) \over \partial x_2} \\ \vdots \\ {\partial f(x_0) \over \partial x_n}\end{pmatrix} = \sum_{i=1}^n{\partial f \over \partial x_i}\hat e_i $$

Osservate attentamente come è fatto questo vettore. Nella posizione \( i\)-esima c'è la "derivata parziale della funzione rispetto alla componente \( i\) valutata in \( x_0\).


Gradiente 2/3-Dimensionali


Come esempio prendiamo una funzione di \( 2\) variabili: \( f(x, y) \). Il gradiente di \( f\) allora è pari a: $$ \nabla_{\mathbb R^2}(x_0) = \begin{bmatrix}{\partial f \over \partial x} \\ {\partial f \over \partial y }\end{bmatrix}|_{x = x_0} $$

Parimenti, per una funzione \( f(x, y, z) \) di \( 3\) variabili avremo che: $$ \nabla_{\mathbb R^3}(x_0) = \begin{bmatrix}{\partial f \over \partial x} \\ {\partial f \over \partial y} \\ {\partial f \over \partial z}\end{bmatrix}|_{x = x_0} $$ Fate attenzione che \( x_0\) è un vettore (non uno scalare).


$$ \diamond\diamond\diamond $$
Gradiente e differenziale

Se ricordate la formula del differenziale per una funzione di più variabili, intuite che essa corrisponde al prodotto scalare del gradiente con l'incremento $$ {\large \langle \nabla(f)|_{x_0}, h\rangle} $$

$$ \diamond\diamond\diamond $$
Significato geometrico

Il gradiente, come dimostreremo in seguito, è un vettore che punta alla massima variazione della funzione. Vi anticipo brevemente che dalla formula del prodotto scalare, infatti si presume che se un vettore è preso con direzione uguale a quella del gradiente si ha il massimo valore del differenziale, mentre se è preso in verso opposto si ha il minimo valore per il differenziale.

gradiente di una funzione di più variabili

$$ \diamond $$
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