Gradiente (Geometria)

Il significato geometrico del gradiente è uno dei concetti fondamentali del calcolo differenziale, imparare a visualizzarlo vi renderà padroni della materia.

Consideriamo una funzione \( f: \mathrm A \subseteq \mathbb R^n \rightarrow \mathbb R \). Si definisce grafico della funzione l'iper-spazio di \( \mathbb R^{n+1}\) ad \( n+1\) dimensioni. $$ \large \{ (x_1, x_2, \ldots, x_n, y) \in \mathbb R^{n+1} t.c.: y = f(x_1, x_2, \ldots, x_n)\}$$ $$ \{ (x_1, x_2, \ldots, x_n, y) \in \mathbb R^{n+1} t.c.: \\ y = f(x_1, x_2, \ldots, x_n)\}$$ $$ \{ (x_1, x_2, \ldots, x_n, y) \in \mathbb R^{n+1} t.c.: \\ y = f(x_1, x_2, \ldots, x_n)\}$$ Per visualizzare il grafico, pensate ad esempio al caso \( n=2\). In questo caso, il grafico è un oggetto di \(\mathbb R^3\)

Per capire il significato geometrico del gradiente, consideriamo un punto \(x_0 = (x_{0,1}, x_{0,2}, \ldots , x_{0,n}) \). L'iper-piano tangente al grafico della funzione nel punto \( (x_0, f(x_0))\) è dato dalla seguente relazione differenziale: $$ T_{x_0} = f(x_0) + \langle \nabla f(x_0), (x-x_0) \rangle $$ Questa formula, è la generalizzazione dei primi termini dell'approssimazione di Taylor arrestata al prim' ordine . Ricordando, dall'analisi uno, vale infatti la relazione \( f(x) = f'(x_0)(x-x_0) \).

Giunti a questo punto, abbiamo tutti gli ingredienti per dare il vero significato geometrico del gradiente: Consideriamo una curva continua \( \gamma \subseteq \mathrm A\) (appartenente al dominio della funzione \( f\)) e passante per il punto \(x_0\), tale per cui: $$ f(\gamma(t_A), \gamma(t_B) ) = k $$ Prendiamo un vettore infinitesimo \( h\) applicato in \( x_0\). La funzione su ciascun punto della curva è costante. Di conseguenza, avremo che: $$ df(x_0)_h = \langle, \nabla f(x_0), h\rangle = 0 $$ Osservate la formula: abbiamo un prodotto scalare nullo, questo significa che (o uno dei due vettori è \( 0\), ma in questo caso entrambi i vettori sono \( \neq 0) \), oppure (ed è il caso nostro), i vettori sono perpendicolari \( \nabla f(x_0) (\bot) h \). Siccome \( h\) è tangente alla curva, allora il gradiente (per \( h \to 0\)) è perpendicolare alla curva.

Geometria del gradiente

Il Gradiente è ortogonale alle ipersuperfici di livello

il gradiente è ortogonale alle ipersuperfici di livello
Teorema del valor medio
SETTING

\( [\mathrm A \subseteq \mathbb R^n ] \)
un sottoinsieme dello spazio
\( [f: \mathrm A \subseteq \mathbb R^n \rightarrow \mathbb R ] \)
funzione di più variabili differenziabile
\( [x_A \in \mathrm A, x_B \in \mathrm A] \)
due punti del dominio

Consideriamo una funzione \( f\) che sia differenziabile in ogni punto di un segmento \( \overline{x_Ax_B}\) tutto contenuto in \( \mathrm A\). Allora vale il seguente Teorema del Valor Medio. $$ \exists x^{\bullet} \in \overline{x_Ax_B} \hspace{1mm} | \hspace{2mm} f(x_B) - f(x_A) = \langle \nabla f(x^{\bullet}), (x_B-x_A) \rangle $$ $$ \exists x^{\bullet} \in \overline{x_Ax_B} \hspace{1mm} | \hspace{2mm} f(x_B) - f(x_A) = \langle \nabla f(x^{\bullet}), (x_B-x_A) \rangle $$ $$ \exists x^{\bullet} \in \overline{x_Ax_B} \hspace{1mm} | \hspace{2mm} f(x_B) - f(x_A) = \\ = \langle \nabla f(x^{\bullet}), (x_B-x_A) \rangle $$ Questo teorema, è l'analogo del Teorema di Lagrange dell' Analisi UNO, solo che quì è stato generalizzato ad \(n\) dimensioni.

Punto critico

Un punto critico, è un punto in cui il gradiente si annulla. Sarebbe la stessa cosa del caso della derivata nulla per una funzinoe ad una variabile.

SETTING

\( [\mathrm A \subseteq \mathbb R^n ] \)
un sottoinsieme dello spazio
\( [f: \mathrm A \subseteq \mathbb R^n \rightarrow \mathbb R ] \)
funzione di più variabili
\( [x_0 \in \mathrm A] \)
un punto del dominio

$$ \diamond $$
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