Presa una funzione di più variabili \(f: \mathrm A \subseteq \mathbb R^n \rightarrow \mathbb R \) derivabile due volte con derivata seconda continua ( \( f \in C^{(2)} \) ), possiamo costruire la cosiddetta matrice Hessiana o di matrice di Hesse nel modo seguente:
$$ {\large \mathrm H_f} = \begin{Vmatrix}
{\partial^2 f \over \partial x_1^2} && {\partial^2 f \over \partial x_1x_2 } && \ldots && {\partial^2 f \over \partial x_1x_n } \\
{\partial^2 f \over \partial x_2x_1 } && {\partial^2 f \over \partial x_2^2} && \ldots && {\partial^2 f \over \partial x_2x_n } \\
\vdots && \vdots && \ddots && \vdots \\
{\partial^2 f \over \partial x_nx_1 } && {\partial^2 f \over \partial x_nx_2 } && \ldots && {\partial^2 f \over \partial x_n^2}
\end{Vmatrix} $$
$$ {\large \mathrm H_f} = \begin{Vmatrix}
{\partial^2 f \over \partial x_1^2} && {\partial^2 f \over \partial x_1x_2 } && \ldots && {\partial^2 f \over \partial x_1x_n } \\
{\partial^2 f \over \partial x_2x_1 } && {\partial^2 f \over \partial x_2^2} && \ldots && {\partial^2 f \over \partial x_2x_n } \\
\vdots && \vdots && \ddots && \vdots \\
{\partial^2 f \over \partial x_nx_1 } && {\partial^2 f \over \partial x_nx_2 } && \ldots && {\partial^2 f \over \partial x_n^2}
\end{Vmatrix} $$
$$\small {\large \mathrm H_f} = \begin{Vmatrix}
{\partial^2 f \over \partial x_1^2} && {\partial^2 f \over \partial x_1x_2 } && \ldots && {\partial^2 f \over \partial x_1x_n } \\
{\partial^2 f \over \partial x_2x_1 } && {\partial^2 f \over \partial x_2^2} && \ldots && {\partial^2 f \over \partial x_2x_n } \\
\vdots && \vdots && \ddots && \vdots \\
{\partial^2 f \over \partial x_nx_1 } && {\partial^2 f \over \partial x_nx_2 } && \ldots && {\partial^2 f \over \partial x_n^2}
\end{Vmatrix} $$
Questa matrice, anzitutto è quadrata di dimensione \( n\) (pari al numero di variabili della funzione), inoltre è simmetrica \( h_{ij} = h_{ji} \) (per il teorema di Schwartz, infatti \( h_{ij} = {\partial^2 f \over \partial x_ix_j } = {\partial^2 f \over \partial x_jx_i } = h_{ji} \). La matrice di Hesse, si comporta come la derivata seconda per le funzioni di più variabili, attraverso le sue proprietà riusciamo a risalire alla concavità e convessità della funzione, ai punti di flesso e di sella.
$$\diamond\diamond\diamond$$
Esempi
Ad esempio per funzioni di \( 2\) e \( 3\) variabili le rispettive matrici hessiane sono riportate di seguito:
$$ {\large \mathrm H_{f(x,y)}} = \begin{Vmatrix}
{\partial^2 f \over \partial x^2} && {\partial^2 f \over \partial x\partial y } \\
{\partial^2 f \over \partial y\partial x } && {\partial^2 f \over \partial y^2}
\end{Vmatrix} $$
$$ {\large \mathrm H_{f(x,y,z)}} = \begin{Vmatrix}
{\partial^2 f \over \partial x^2} && {\partial^2 f \over \partial x\partial y } && {\partial^2 f \over \partial x\partial z } \\
{\partial^2 f \over \partial y\partial x } && {\partial^2 f \over \partial y^2} && {\partial^2 f \over \partial y\partial z} \\
{\partial^2 f \over \partial z\partial x } && {\partial^2 f \over \partial z \partial y} && {\partial^2 f \over \partial z^2}
\end{Vmatrix} $$
$$\diamond\diamond\diamond$$
Teoremi che riguardano la matrice Hessiana
Valgono i seguenti teoremi, per la matrice Hessiana
\( 1) \) La funzione \( f\) è
convessa su \( \mathrm A \) e :
