Derivate parziali

Le derivate parziali, le introduciamo, per il semplice fatto che in una funzione a più variabili, non possiamo parlare di "derivata" (nel senso totale dell'analisi uno). lì, in quel contesto, è evidente che le funzioni essendo ad una variabile, hanno una sola dimensione in cui si calcolano i limiti dei rapporti incrementali. Ebbene, quì ne molte mdi più di queste direzioni dove poter calcolare un rapporto incrementale, addirittura infinite... quindi si parla di deriva parziale rispetto ad una variabile, nel senso che, quando "derivo", devo dire "rispetto a chi" sto derivando...

SETTING

\( [\mathrm A \subseteq \mathbb R^n ] \)
un sottoinsieme dello spazio
\( [f: \mathrm A \subseteq \mathbb R^n \rightarrow \mathbb R ] \)
una funzione di più variabili
\( [x_0 \in \mathrm A] \)
un punto del dominio
\( \hat e_j \)
i versori della base canonica

Consideriamo ad esempio una funzione \( f\) a due variabili, definita su un dominio \( \mathrm A \subseteq \mathbb R^2 \) a valori in \( \mathbb R\). Vi ricordate, la definizione di derivata dell'analisi uno? Si deve calcolare il "limite del rapporto incrementale", facendo "tendere" l'incremento a \( 0\); ma adesso siccome la funzione è a 2 variabili, posso definire due limiti di due rapporti incrementali, uno variando aolo lungo \( x\), l'altro lungo \( y\)

$$ \lim_{\Delta x \to 0 } \frac{f(x_0+\Delta x, y_0)-f(x_0, y_0)}{\Delta x} $$ $$ \downarrow $$ $$ {\LARGE \frac{\partial f}{\partial x}} $$
Derivata parziale della funzione \( f\) rispetto alla variabile indipendente \( x\)
$$ \lim_{\Delta y \to 0 } \frac{f(x_0, y_0 + \Delta y)-f(x_0, y_0)}{\Delta y} $$ $$ \downarrow $$ $$ {\LARGE \frac{\partial f}{\partial y}} $$
Derivata parziale della funzione \( f\) rispetto alla variabile indipendente \( y\)
Se questi limiti esistono, e sono due numero reali \( < \infty \), allora essi sono le derivate parziali della funzione. Ogni derivata parziale è a sua volta una nuova funzione delle varibili \( x\) ed \( y\), associata alla funzione di partenza.

$$ \diamond\diamond\diamond $$
derivata parziale

Notazioni

Le derivate parziali, le trovate scritte in molti modi diversi, tutti equivalenti, naturalmente! Il modo classico è quello appena visto nella definizione in cui compaiono i limiti dei rapporti incrementali con il simbolo \( \partial\) ("delta stilizzato"), ma è possibile che in qualche testo, qualche autore, la indichi in uno dei modi seguenti: $$ \large f_x(x, y) \hspace{1cm} D_xf(x, y) \hspace{1cm} {\partial f \over \partial x_i}(x_0) \hspace{1cm} \left({\partial f \over \partial x_i}\right) \lvert_{x=x_0} $$ $$ f_x(x, y) \hspace{1cm} D_xf(x, y) \hspace{1cm} {\partial f \over \partial x_i}(x_0) \hspace{1cm} \left({\partial f \over \partial x_i}\right) \lvert_{x=x_0} $$ $$ f_x(x, y) \hspace{1cm} D_xf(x, y) \hspace{1cm} {\partial f \over \partial x_i}(x_0) $$ $$ \left({\partial f \over \partial x_i}\right) \lvert_{x=x_0} $$ Per indicare che una derivata parziale è valutata in un punto \( (x_0, y_0) \) si indica in uno dei modi seguenti: $$ \large f_x(x_0, y_0) \hspace{1cm} D_xf(x, y)|_{x=x_0, y=y_0} \hspace{1cm} \frac{\partial f}{\partial x} |_{x_0, y_0} $$ $$ f_x(x_0, y_0) \hspace{1cm} D_xf(x, y)|_{x=x_0, y=y_0} \hspace{1cm} \frac{\partial f}{\partial x} |_{x_0, y_0} $$ $$ f_x(x_0, y_0) \hspace{1cm} D_xf(x, y)|_{x=x_0, y=y_0} $$ $$ \frac{\partial f}{\partial x} |_{x_0, y_0} $$

Oppure in notazione vettoriale

$$ \large f_{x_i}(\vec x) \hspace{1cm} D_{x_(\vec x)}|_{\vec x=\vec x_0} \hspace{1cm} \frac{\partial f}{\partial x} |_{\vec x_0} \hspace{1cm} \left( {\partial f(\vec x) \over \partial \vec x_i}\right) \hspace{1cm} \left( {\partial \over \partial \vec x_i}\right)_{\vec x = \vec x_0} $$ $$ f_{x_i}(\vec x) \hspace{1cm} D_{x_(\vec x)}|_{\vec x=\vec x_0} \hspace{1cm} \frac{\partial f}{\partial x} |_{\vec x_0} \hspace{1cm} \left( {\partial f(\vec x) \over \partial \vec x_i}\right) \hspace{1cm} \left( {\partial \over \partial \vec x_i}\right)_{\vec x = \vec x_0} $$ $$ f_{x_i}(\vec x) \hspace{1cm} D_{x_(\vec x)}|_{\vec x=\vec x_0} $$ $$ \frac{\partial f}{\partial x} |_{\vec x_0} \hspace{1cm} \left( {\partial f(\vec x) \over \partial \vec x_i}\right) \hspace{1cm} \left( {\partial \over \partial \vec x_i}\right)_{\vec x = \vec x_0} $$

$$ \diamond $$

Naturalmente, per le derivate parziali, valgono tutte le considerazioni viste per le derivate totali dell'Analisi UNO, come ad esempio il fatto che la derivata coincide con il coefficiente angolare della retta tangente al grafico (inteso come sezione della funzione).

Nelle prossime pagine vedremo come calcolare queste derivate parziali.

$$ \diamond $$
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