Il teorema di Schwartz

Ogni derivata parziale è a tutti gli effetti un funzione di più variabili, di cui ne possiamo ricalcolare le derivate parziali, ottenendo le derivate parziali seconde.

Data una funzione di \( n\) variabili le derivate sue seconde sono \( n^2 \). Questo perchè, ogni derivata parziale è derivabile rispetto alle sue \( n\) variabili. Se consideriamo una funzione di \( 2\) variabili, per semplicità, le derivate parziali seconde sono \(4\) e sono: $$ {\partial^2 f \over \partial x^2} \hspace{1cm} {\partial^2 f\over \partial x\partial y} \hspace{1cm} {\partial^2 f\over \partial y \partial x} \hspace{1cm} {\partial^2 f \over \partial y^2} $$ Di queste 4 derivate, osserviamo le due centrali \( {\partial^2 f\over \partial x\partial y}, {\partial^2 f\over \partial y \partial x}\). Esse si ottengono semplicemente invertendo l'ordine di derivazione delle variabili, infatti si chiamano le derivate parziali seconde miste. Ebbene, il Teorema di Schwartz noto anche come il Teorema dell'inversione dell'ordine di derivazione, afferma che queste derivate coincidono.

Teorema di Schwartz

Le derivate parziali miste valutate in un punto coincidono

$$ {\partial^2 f(x_0)\over \partial x\partial y} = {\partial^2 f(x_0)\over \partial y \partial x} $$

Conseguenza del teorema, è che l'ordine di derivazione (inteso come l'applicazione di una derivata parziale ad un'altra è influente), e questo ci permette di svolgere meno calcoli negli esempi e negli esercizi.

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