La formula di Taylor in più variabili

La Formula diu Taylor, vista ad Analisi UNO, si estende, ovviamente (per fortuna), anche alle funzioni di più variabili e rappresenta una delle formule più importanti e più usate del calcolo differenziale nelle applicazioni.

Consideriamo una bella funzione di più variabili. Mettiamoci nel caso generale: sia \( f: \mathrm A \subseteq \mathbb R^n \rightarrow \mathbb R \) la nostra funzione. Richiediamo che la funzinoe sia "indefinitamente derivabile" in un punto del dominio \( x_0 \in \mathrm A\) - (si dice che \( f \in \mathbb C^\infty(\mathrm A) \)) allora vale la serie: $$ \sum_{k=0}^\infty {1\over k!} \left( \right) $$ Detta serie di Taylor della funzione \( f\) nel punto \( x_0 \in \mathrm A\).

Analogamente ai discorsi fatti ad Analisi UNO, se vale l'uguaglianza tra la funzione in ogni punto del dominio e la serie, si dice che la funzione è svilippabile in serie di Taylor in tutto il suo dominio, e quindi possiamo sostituire la funzione con la serie! Anzi, possiamo fare molto di più...

Siccome la serie è una somma di infiniti termini, possiamo "semplificare" la funzione - se ad esempio stiamo cercando di risolvere un integrale piuttosto che un'equazione differenziale abbastanza complesso - con i primi termini della serie, pagando il prezzo dell'approsimazione; nel senso che eliminando la "coda" della serie, quello che in gergo tecnico si chiama il resto della serie e che corrisponde all'errore commesso tra la funzione vera e propria ed il suo sviluppo arrestato all'\( n\)-esimo termine; si perviene ad una approssimazione della funzione in un punto.

$$ \diamond $$
BACK HOME NEXT

Copyright©2018 YouSciences | All rights Reserved
designed by Giuseppe Sottile


Supportaci con una donazione