Definizione di Darboux

Consideriamo una funzione \( f \) e la sua versione a supporto compatto ristretta al dominio \( \mathbb D\) A questo punto possiamo definire l'integrale sulle funzioni a supporto compatto estese ad \( \mathbb R^2\) ponendo: $$ \iint_{\mathbb D}f(x, y)dxdy = \iint_{\mathbb R^2}\hat{f}(x, y)dxdy $$
Caso banale

Il caso più semplice consiste in una funzione definita su un rettangolo parallelo agli assi $$ R = [a, b] \times [c, d] $$ In questo caso l'integrale è: $$ \iint_{R} f(x, y) dxdy = \lambda(b-a)(c-d) $$

Combinazione di funzioni a gradino

Il caso più semplice, come visto è il volume di un parallelepipedo parallelo agli assi. per rendere le cose leggermente più complicate analizziamo il caso in cui vi siano un insieme di parallelepipedi. Evidentemente l'area della figura è la somma di tutti i parallelepipedi messi insieme. E' queste la definizione di integrale doppio di una combinazione lineare di funzioni a gradino a suporto compatto.

La più semnplice funzione a gradino a supporto compatto è la funzione caratteristica di un insieme rettangolare. La indicheremo in questo modo: $$\large \chi_{[b-a]\times[d-c]}$$ Questa funzione sostanzialmete, vale 0 fuori dal rettangolo ed 1 all'interno del rettangolo. E' una sorta di indicatore del sottorettangolo. Se il nostro dominio è un plurirettangolo, ossia l'unione di un numero finito di rettagoli \( \mathbb R_i \) allora l'integrale esteso al plurirettangolo è la somma dei volumi dei singoli parallelepipedi di base pari ad \( \mathbb R_i \) ed altezza pari a \( \lambda_i \). $$ \iint_{Rect}\phi_idxdy = \sum_{i=1}^n\phi_i = \sum_{i=1}^n\chi_{\mathbb R_i} [b_i-a_i]\times[d_i-c_i] $$ $$ \iint_{Rect}\phi_idxdy = \sum_{i=1}^n\phi_i = \sum_{i=1}^n\chi_{\mathbb R_i} [b_i-a_i]\times[d_i-c_i] $$ $$ \iint_{Rect}\phi_idxdy = \sum_{i=1}^n\phi_i $$ $$ \downarrow $$ $$ \sum_{i=1}^n\chi_{\mathbb R_i} [b_i-a_i]\times[d_i-c_i] $$

$$ \diamond $$
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