Integrali doppi: definizione

Un integrale doppio è un integrale esteso ad una funzione a \( 2\) variabili: \( f: \mathbb R^2 \rightarrow \mathbb R\). Più precisamente, mentre un integrale unidimenionale si effettua su un intervallo di \( \mathbb R\), un integrale doppio si estende a sottoinsiemi di \(\mathbb R^2\). Per indicare un integrale doppio si usa la seguente notazione classica:

simbolo di integrale doppio

Vediamo ora come possiamo definire il tutto matematicamente.

$$ \diamond\diamond\diamond $$
Una definizione per un caso degenere

Il caso più semplice corrisponde ad avere un dominio di integrazione rettangolare e parallelo agli assi \( xy \) ed una funzione costante su tutto il dominio. Chiamiamo \( \Omega\) tale dominio. E' facile definire l'integrale doppio esteso a questo dominio rettangolare - si tratta del volume del parallelepipedo, la cui base coincide con la misura del dominio, e l'altezza con il valore (costante) della funzione. Graficamente:

definizione di un integrale doppio su un dominio rettangolare per una funzione costante

$$ \iint_{[a, b]\times[c, d]} (k)dxdy = (b-a)(d-c)k $$

Questo è il tipo più semplice di integrale doppio! Il calcolo è relativamente semplice, corrisponde semplicemente al prodotto di larghezza, altezza e lunghezza del parallelepipedo; se poi, addirittura, la costante \(k\) è \( 1\), l'integrale $$ \large \iint_{[a, b]\times[c, d]} dxdy = mis(\mathrm \Omega) = (b-a)(d-c) $$ $$ \iint_{[a, b]\times[c, d]} dxdy = mis(\mathrm \Omega) = (b-a)(d-c) $$ $$ \small \iint_{[a, b]\times[c, d]} dxdy = mis(\mathrm \Omega) = (b-a)(d-c) $$ Corrisponde all'area (misura) del dominio.

Questa defininizione, naturalmente si riferisce alla situazione più semplice di tutte, adesso iniziamo a rendere le cose un pò meno banali...


$$ \diamond $$
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