Plurintervalli

Abbiamo visto che un integrale di una funzione costante \(k\) su un dominio rettangolare \( \mathrm A\) è il volume del parallelepipedo di altezza \( k\) e base pari alla misura di \(\mathrm A\). Proviamo adesso a calcolare l'integrale, su un dominio fatto di tanti rettangoli, su ciascuno dei quali la funzione costante cambia di valore... vedrete, che il passaggio non sarà così difficile...

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Plurintervalli

Se il nostro dominio \( \mathrm A\) è l'unione di tanti rettangoli possiamo concentrarci sul singolo rettangolo e sommare tutto. Un plurintervallo è l'unione finita di tanti intervalli limitati (supponiamo per semplicità, tutti rettangolari e paralleli agli assi) $$ \mathrm A = \bigcup_{j=1}^n \mathrm A_j $$ Dove ogni sottointervallo \( \mathrm A_j \) è definito come: $$ \mathbb A_j = [a_j, b_j] \times [c_j, d_j] \hspace{2cm} mis(\mathrm A_j) = (b_j - a_j)(d_j - c_j) $$ $$ \mathbb A_j = [a_j, b_j] \times [c_j, d_j] \hspace{2cm} mis(\mathrm A_j) = (b_j - a_j)(d_j - c_j) $$ $$ \mathbb A_j = [a_j, b_j] \times [c_j, d_j] $$ $$ mis(\mathrm A_j) = (b_j - a_j)(d_j - c_j) $$ Supponiamo che su ogni sottointervallo \( \mathrm A_j \) la funzione sia costante a tratti pari a: \( k_j \). Allora l'integrale su \( \mathrm A \) corrisponde alla somma dei volumi dei sottointervalli ottenuti come prodotto della loro misura per il valore della funzione relativamente al sottointervallo \( j\)-esimo. In formule: $$ \mathrm \iint_{\mathrm A} f = \sum_{j=1}^n mis(\mathrm A_j)k_j = \sum_{j=1}^n (b_j - a_j)(d_j - c_j)k_j $$ $$ \mathrm \iint_{\mathrm A} f = \sum_{j=1}^n mis(\mathrm A_j)k_j = \sum_{j=1}^n (b_j - a_j)(d_j - c_j)k_j $$ $$ \mathrm \iint_{\mathrm A} f = \sum_{j=1}^n mis(\mathrm A_j)k_j $$ $$ \downarrow $$ $$ \sum_{j=1}^n (b_j - a_j)(d_j - c_j)k_j $$ La figura in basso mostra effettivamente come l'integrale rappresenta "l'area con segno" del plurirettangolo ottenuto come unione dei singoli parallelepipedi:

area del plurirettangolo

A questo punto, proviamo a rendere le cose ancora più complesse. Cosa succede se il nostro dominio non è più parallelo agli assi ed inoltre non è rettangolare? Ad esempio ha i lati curvi (mistilinei)! Riuscite a pensare ad un modo per calcolare il volume... prima di proseguire...


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