Abbiamo visto che un integrale di una funzione costante \(k\) su un dominio rettangolare \( \mathrm A\) è il volume del parallelepipedo di altezza \( k\) e base pari alla misura di \(\mathrm A\). Proviamo adesso a calcolare l'integrale, su un dominio fatto di tanti rettangoli, su ciascuno dei quali la funzione costante cambia di valore... vedrete, che il passaggio non sarà così difficile...

Se il nostro dominio \( \mathrm A\) è l'unione di tanti rettangoli possiamo concentrarci sul singolo rettangolo e sommare tutto. Un plurintervallo è l'unione finita di tanti intervalli limitati (supponiamo per semplicità, tutti rettangolari e paralleli agli assi) $$ \mathrm A = \bigcup_{j=1}^n \mathrm A_j $$ Dove ogni sottointervallo \( \mathrm A_j \) è definito come: $$ \mathbb A_j = [a_j, b_j] \times [c_j, d_j] \hspace{2cm} mis(\mathrm A_j) = (b_j - a_j)(d_j - c_j) $$ $$ \mathbb A_j = [a_j, b_j] \times [c_j, d_j] \hspace{2cm} mis(\mathrm A_j) = (b_j - a_j)(d_j - c_j) $$ $$ \mathbb A_j = [a_j, b_j] \times [c_j, d_j] $$ $$ mis(\mathrm A_j) = (b_j - a_j)(d_j - c_j) $$ Supponiamo che su ogni sottointervallo \( \mathrm A_j \) la funzione sia costante a tratti pari a: \( k_j \). Allora l'integrale su \( \mathrm A \) corrisponde alla somma dei volumi dei sottointervalli ottenuti come prodotto della loro misura per il valore della funzione relativamente al sottointervallo \( j\)-esimo. In formule: $$ \mathrm \iint_{\mathrm A} f = \sum_{j=1}^n mis(\mathrm A_j)k_j = \sum_{j=1}^n (b_j - a_j)(d_j - c_j)k_j $$ $$ \mathrm \iint_{\mathrm A} f = \sum_{j=1}^n mis(\mathrm A_j)k_j = \sum_{j=1}^n (b_j - a_j)(d_j - c_j)k_j $$ $$ \mathrm \iint_{\mathrm A} f = \sum_{j=1}^n mis(\mathrm A_j)k_j $$ $$ \downarrow $$ $$ \sum_{j=1}^n (b_j - a_j)(d_j - c_j)k_j $$ La figura in basso mostra effettivamente come l'integrale rappresenta "l'area con segno" del plurirettangolo ottenuto come unione dei singoli parallelepipedi:

A questo punto, proviamo a rendere le cose ancora più complesse. Cosa succede se il nostro dominio non è più parallelo agli assi ed inoltre non è rettangolare? Ad esempio ha i lati curvi (mistilinei)! Riuscite a pensare ad un modo per calcolare il volume... prima di proseguire...