Formula di riduzione

Il primo metodo per risolvere un integrale doppio, consiste semplicemente nel risolverne \( 2\) singoli. Come già anticipato, non bisogna impararsi nulla di nuovo; non esistono "primitive doppie" o roba del genere , ma solo delle formule di trasformazione degli integrali doppi in integrali singoli. Il lavoro che avete fatto ad analisi uno vi ha già ricompensato.

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Introduciamo la formula di riduzione per gli integrali doppi. Sotto certe condizioni, vale la seguente formula:


$$ \large \iint_{\mathbb R^2} f(x, y)dxdy = \int_{\mathbb R}\left( \int_{\mathbb R} f(x, y)dy \right) dx = \int_{\mathbb R}\left( \int_{\mathbb R} f(x, y)dx \right) dy $$ $$ \iint_{\mathbb R^2} f(x, y)dxdy = \int_{\mathbb R}\left( \int_{\mathbb R} f(x, y)dy \right) dx = \int_{\mathbb R}\left( \int_{\mathbb R} f(x, y)dx \right) dy $$ $$ \iint_{\mathbb R^2} f(x, y)dxdy $$ $$ \downarrow $$ $$ \int_{\mathbb R}\left( \int_{\mathbb R} f(x, y)dy \right) dx $$ $$ \downarrow $$ $$ \int_{\mathbb R}\left( \int_{\mathbb R} f(x, y)dx \right) dy $$


Osservate la formula attentamente. Essa esprime il seguente fatto: se voglio risolvere un integrale di una funzione di due variabili su \( \mathbb R^2\), posso concentrarmi dapprima svolgendo un integrale singolo rispetto ad una varibile e successivamente, prendere il risultato ottenuto ed integrare rispetto all'altra variabile. Questo fatto può essere messo in evidenza, mostrando negli integrali le funzioni \( F(x)\) ed \( F(y)\), che rappresentano il risultato delle integrazioni parziali, rispetto ad una singola vartibile.

$$ \iint_{\mathbb R^2} f(x, y)dxdy = \int_{\mathbb R}\left( \overset{F(x)}{\overbrace{\int_{\mathbb R} f(x, y)dy }}\right) dx = \int_{\mathbb R}\left( \overset{F(y)}{\overbrace{\int_{\mathbb R} f(x, y)dx }}\right) dy $$ $$ \iint_{\mathbb R^2} f(x, y)dxdy = \int_{\mathbb R}\left( \overset{F(x)}{\overbrace{\int_{\mathbb R} f(x, y)dy }}\right) dx = \int_{\mathbb R}\left( \overset{F(y)}{\overbrace{\int_{\mathbb R} f(x, y)dx }}\right) dy $$ $$ \iint_{\mathbb R^2} f(x, y)dxdy $$ $$ \downarrow $$ $$ \int_{\mathbb R}\left( \overset{F(x)}{\overbrace{\int_{\mathbb R} f(x, y)dy }}\right) dx $$ $$ \downarrow $$ $$ \int_{\mathbb R}\left( \overset{F(y)}{\overbrace{\int_{\mathbb R} f(x, y)dx }}\right) dy $$

Osservate una cosa importante. Quando integro (nell'integrale più interno) ad esempio, la funzione \( f(x, y)\) rispetto ad \( y\), il risultato dell'integrale è una nuova funzione dipendente solo da \( x\) (che ho indicato come \( F(x)\). Questa funzione, sarà integrata, poi rispetto ad \(x\).

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