Formula di riduzione sui rettangoli

La formula che abbiamo introdotto, in precedenza è del tutto generale. Concentriamo la nostra attenzione, su un caso banale, quando il dominio di integrazione è particolarmente semplice: un rettangolo , a tal proposito, la formula di riduzione assume l'appellativo di formula di riduzione sui rettangoli

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Consideriamo un dominio rettangolare di \( A \subseteq \mathbb R^2 \), tale per cui: $$\large A = [a, b] \times [c, d] $$ ed una funzione \( f: A \rightarrow \mathbb R \). Allora vale la seguente formula:

$$ \iint_{A}f(x, y)dxdy = \int_a^b\left( \int_c^d f(x, y)dy \right)dx = \int_c^d\left( \int_a^b f(x, y)dx \right)dy $$ $$ \iint_{A}f(x, y)dxdy = \int_a^b\left( \int_c^d f(x, y)dy \right)dx = \int_c^d\left( \int_a^b f(x, y)dx \right)dy $$ $$ \iint_{A}f(x, y)dxdy $$ $$ \downarrow $$ $$ \int_a^b\left( \int_c^d f(x, y)dy \right)dx $$ $$ \downarrow $$ $$ \int_c^d\left( \int_a^b f(x, y)dx \right)dy $$


Questa formula esprime la riduzione su un rettangolo. Nel primo caso si risolve l'integrale da \( a\) a \( b\) dell'integrale da \( c\) a \( d\) della funzione. Ciò significa, mantenere costante la funzione rispetto ad \( x\) ed integrare rispetto alle \( X\)-sezioni di \( f\); e solo dopo aver ottenuto una funzione della sola varibile \( x\), si procede all'integrazione in \( dx\). Nel secondo caso, il discorso è simmetrico, si integra prima rispetto ad \( x\) e dopo rispetto ad \( y\). Nella formula, ho riportato le parentesi per una questione di completezza e per non creare ambiguità. Ovviamente quando si è capito il significato della formula e si è un po più esperti si può abbreviare la notazione eliminando le parentesi:

$$ \large \iint_{A}f(x, y)dxdy = \int_a^b dx \int_c^d f(x, y) dy $$ $$ \large \iint_{A}f(x, y)dxdy = \int_a^b dx \int_c^d f(x, y) dy $$ $$ \large \iint_{A}f(x, y)dxdy $$ $$ \downarrow $$ $$ \int_a^b dx \int_c^d f(x, y) dy $$

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