Integrazione per sostituzione

Capita spesso che un integrale sia di difficile risoluzione, nella forma in cui si presenta. Ci sono molti "trucchi" e procedimenti che si acquisiscono solo con l'esperienza... Esiste però, un teorema (metodo) che ci permette di "trasformare" un integrale in un altro equivalente, molto spesso di facile risoluzione. Il metodo si chiama integrazione per sostituzione e può essere impiegato, quando compaiono le funzioni composte.

Consideriamo due funzioni reali di variabile reale continue e definite su un intervallo compatto \( [a, b]\). $$ f: [a, b] \rightarrow \mathbb R \hspace{2cm} g: [a, b] \rightarrow \mathbb R $$ La funzione \( f\) è la funzione da integrare, mentre \( g\) è una funzione invertibile con derivata prima su \( [a, b]\). Allora vale il seguente teorema (ometto la dimostrazione) $${\large \int_a^b f(x)dx = \int_{g^{-1}(a)}^{g^{-1}(b)} f(g(t))g'(t)dt }$$ $${\large \int_a^b f(x)dx = \int_{g^{-1}(a)}^{g^{-1}(b)} f(g(t))g'(t)dt }$$ $${ \int_a^b f(x)dx = \int_{g^{-1}(a)}^{g^{-1}(b)} f(g(t))g'(t)dt }$$

Attenzione a questa formula. Vediamo cosa ci dice. A Destra c'è il nostro integrale di partenza mentre a sinistra c'è la versione trasformata mediante \( g\). Dove si trova esattamente la famigerata sostituzione? Osservate attentamente la formula. Se sostituisco al posto di \( x\) la funzione \( g(t)\), allora la formula a destra è la versione dell'integrale a sinistra dopo aver semplicemente applicato la regola della catena per le funzioni composte:

$$ \int_a^b f(x)dx \overset{\overset{\large x \rightarrow g(t)}{\downarrow}}{=} \int_{g^{-1}(a)}^{g^{-1}(b)} f(\overset{x}{\overbrace{g(t)}} )\overset{dx}{\overbrace{g'(t)dt}} $$


$$ \diamond $$
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