Funzioni a supporto compatto

Consideriamo la classe delle funzioni a supporto compatto. Tali funzioni si ottengono semplicemente prendendo una funzione limitata \( f\) e restringendola al dominio \( \mathbb D\) $$ \large \hat{f}(x, y) = f(x, y)\chi_{_\mathbb D} = \begin{cases} f(x, y) \Leftrightarrow (x, y) \in \mathbb D \\ 0 \Leftrightarrow (x, y) \notin \mathbb D \end{cases} $$ $$ \hat{f}(x, y) = f(x, y)\chi_{_\mathbb D} = \begin{cases} f(x, y) \Leftrightarrow (x, y) \in \mathbb D \\ 0 \Leftrightarrow (x, y) \notin \mathbb D \end{cases} $$ $$ \hat{f}(x, y) = f(x, y)\chi_{_\mathbb D} $$ $$ \downarrow $$ $$ \begin{cases} f(x, y) \Leftrightarrow (x, y) \in \mathbb D \\ 0 \Leftrightarrow (x, y) \notin \mathbb D \end{cases} $$ in particolare queste funzioni valgono \( 0\) al di fuori di un dominio chiuso e limitato, mentre conservano il loro valore effettivo all'interno del dominio chiuso e limitato, da quì il nome "supporto compatto".
A questo punto possiamo definire l'integrale sulle funzioni a supporto compatto estese ad \( \mathbb R^2\) ponendo: $$ \iint_{\mathbb D}f(x, y)dxdy = \iint_{\mathbb R^2}\hat{f}(x, y)dxdy $$
$$ \diamond $$
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