Il teorema fondamentale del calcolo integrale

Questo teorema rappresenta una pietra miliare dell'analisi 1. Mette in connessione il calcolo differenziale, cioè il concetto di derivata, con il calcolo integrale, ossia il concetto di area. Si scopre sorprendentemente che l'integrale è l'operazione inversa della derivata e viceversa; in questo modo calcolare un integrale si riconduce al problema della determinazione dell'antiderivata, o primitiva e ci si dimentica temporaneamente del suo legame con la misura.

Consideriamo una funzione reale di variabile reale definita su un intervallo compatto: \( f: [a, b] \rightarrow \mathbb R \). Su tale intervallo prendiamo un punto \( x_0 \).

Costruiamoci ora una funzione a partire da un integrale. E' tipico in analisi costruire queste funzioni, bisogna però fare attenzione a non combinare pasticci con le variabili. Ora vi spiego. Vediamo dapprima la funzione che riporto di seguito: $$ x \rightarrow \int_{x_0}^x f(t)dt $$ Dobbiamo distinguere la variabile \( t\) dalla variabile \( x\). Anzitutto \( x_0\) è il punto che abbiamo scelto nell'intervallo, quindi l'integrale si fà nell'intervallo, \( x\) è la nostra variabile dipendente della funzione, mentre \( t\), si chiama variabile di integrazione ed è una "variabile muta", nel senso che posso sceglierne un'altra es \( s\) piuttosto che \( r\) ecc, senza che si alteri l'espressione.

Funzione Integrale

Cos'ha di speciale questa funzione? come mai l'abbiamo definita? La risposta è la seguente: Questa funzione, per come è stata definita è continua ovunque ed ammette derivata in tutti i punti dove \( f\) è continua. Inoltre, cosa non da poco è facile verificare che vale la seguente relazione (la dimostrazione la trovate nel corso di Analisi UNO): $$ {d\over dx} \int_{x_0}^x f(t)dt = f(x) $$ Che è una delle formule più importanti in assoluto

$$ \diamond $$
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